등차수열·등비수열 공식 정리: 일반항, 합 공식, 등차중항·등비중항까지
등차수열은 차가 일정한 수열이고 일반항은 aₙ = a + (n-1)d, 합은 Sₙ = n{2a+(n-1)d}/2입니다. 등비수열은 비가 일정한 수열이고 일반항은 aₙ = ar^(n-1), 합은 r≠1일 때 Sₙ = a(1-rⁿ)/(1-r)입니다.
등차수열과 등비수열 구분법
수열 문제를 풀 때 가장 먼저 할 일은 등차수열인지 등비수열인지 구분하는 것입니다. 연속한 두 항을 빼서 차가 계속 같으면 등차수열입니다. 예를 들어 3, 7, 11, 15는 차가 4로 일정하므로 등차수열입니다.
연속한 두 항을 나눴을 때 비가 계속 같으면 등비수열입니다. 예를 들어 2, 6, 18, 54는 앞 항에 3을 곱해 다음 항이 되므로 등비수열입니다.
시험에서는 “일반항을 구하라”, “첫 n항의 합을 구하라”, “중항을 구하라”처럼 물어봅니다. 문제에서 항 하나만 묻는지, 여러 항의 합을 묻는지부터 보면 공식을 고르기 쉽습니다.
등차수열·등비수열 공식 한눈에 보기
| 구분 | 등차수열 | 등비수열 |
|---|---|---|
| 규칙 | 일정한 수 d를 더함 | 일정한 수 r을 곱함 |
| 일반항 | aₙ = a + (n-1)d | aₙ = ar^(n-1) |
| 합 공식 | Sₙ = n{2a+(n-1)d}/2 | Sₙ = a(1-rⁿ)/(1-r), r≠1 |
| 마지막항 l을 알 때 | Sₙ = n(a+l)/2 | 상황에 따라 일반 합 공식 사용 |
| 중항 | b = (a+c)/2 | b² = ac |
등차수열 공식: 일정하게 더하는 수열
등차수열은 이웃한 항 사이의 차가 일정한 수열입니다. 이 일정한 차를 공차라고 하고 보통 d로 씁니다. 첫째항을 a라고 하면 n번째 항은 첫째항에서 공차를 n-1번 더한 값입니다.
그래서 일반항은 aₙ = a + (n-1)d입니다. 예를 들어 첫째항이 3, 공차가 4라면 10번째 항은 3 + 9×4 = 39입니다.
합 공식은 두 가지로 기억하면 됩니다. 마지막항 l을 알면 Sₙ = n(a+l)/2가 가장 쉽습니다. 마지막항을 모르면 일반항을 이용해 Sₙ = n{2a+(n-1)d}/2를 씁니다.
등비수열 공식: 일정하게 곱하는 수열
등비수열은 이웃한 항 사이의 비가 일정한 수열입니다. 이 일정한 비를 공비라고 하고 보통 r로 씁니다. 첫째항 a에서 공비 r을 n-1번 곱하면 n번째 항이 됩니다.
그래서 일반항은 aₙ = ar^(n-1)입니다. 예를 들어 첫째항이 2, 공비가 3이면 5번째 항은 2×3⁴ = 162입니다.
합 공식은 공비 r이 1인지 아닌지를 먼저 확인해야 합니다. r이 1이면 모든 항이 a이므로 Sₙ = na입니다. r이 1이 아니면 Sₙ = a(1-rⁿ)/(1-r) 또는 Sₙ = a(rⁿ-1)/(r-1)을 씁니다. 두 식은 같은 뜻이고, 계산하기 편한 쪽을 선택하면 됩니다.
등차중항과 등비중항 공식
세 수 a, b, c가 이 순서로 등차수열을 이루면 가운데 수 b는 양끝의 평균입니다. 따라서 b = (a+c)/2이고, 같은 말로 2b = a+c입니다.
세 수 a, b, c가 이 순서로 등비수열을 이루면 가운데 수 b는 양끝의 곱과 연결됩니다. 공식은 b² = ac입니다. 양수 범위에서 중항을 구할 때는 b = √ac처럼 계산할 수 있습니다.
중항 문제는 공식이 짧아서 쉬워 보이지만, 등차중항인지 등비중항인지 헷갈리는 실수가 많습니다. 평균이면 등차, 제곱이면 등비라고 기억하면 빠릅니다.
예제로 공식 선택하기
예제 1. 5, 8, 11, 14, ...의 20번째 항을 구해 봅시다. 차가 3으로 일정하므로 등차수열입니다. 첫째항 a=5, 공차 d=3이므로 a₂₀ = 5 + 19×3 = 62입니다.
예제 2. 5, 8, 11, 14, ...의 첫 20항의 합은 S₂₀ = 20{2×5+19×3}/2 = 10×67 = 670입니다. 합을 묻는 문제이므로 일반항 공식이 아니라 합 공식을 써야 합니다.
예제 3. 3, 6, 12, 24, ...의 8번째 항은 등비수열 공식으로 구합니다. 첫째항 a=3, 공비 r=2이므로 a₈ = 3×2⁷ = 384입니다.
예제 4. 3, 6, 12, 24, ...의 첫 8항의 합은 S₈ = 3(2⁸-1)/(2-1) = 765입니다. r이 1이 아니므로 등비수열 합 공식을 씁니다.
자주 틀리는 포인트
첫째, n번째 항에서 공차나 공비를 n번 적용하는 실수입니다. 첫째항이 이미 1번째 항이므로 n번째 항에는 n-1번만 적용합니다. 그래서 등차수열은 a+(n-1)d, 등비수열은 ar^(n-1)입니다.
둘째, 등비수열 합 공식에서 r=1인 경우를 놓치는 실수입니다. r=1이면 분모가 0이 되므로 일반 합 공식을 쓰면 안 됩니다. 이때는 단순히 같은 수 a가 n개 있으므로 na입니다.
셋째, 마지막항을 알고 있는데도 복잡한 공식을 쓰는 실수입니다. 등차수열의 합은 첫째항과 마지막항을 알면 n(a+l)/2가 가장 빠릅니다. 문제에서 마지막항이 주어졌는지 먼저 확인하세요.
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FAQ
등차수열 일반항 공식은 무엇인가요?
첫째항이 a, 공차가 d이면 n번째 항은 aₙ = a + (n-1)d 입니다.
등차수열 합 공식은 무엇인가요?
첫째항 a, 마지막항 l, 항수 n이면 Sₙ = n(a+l)/2 입니다. 공차 d를 알면 Sₙ = n{2a+(n-1)d}/2 를 씁니다.
등비수열 일반항 공식은 무엇인가요?
첫째항이 a, 공비가 r이면 n번째 항은 aₙ = ar^(n-1) 입니다.
등비수열 합 공식에서 r=1이면 어떻게 하나요?
공비 r이 1이면 모든 항이 a이므로 Sₙ = na 입니다. r≠1일 때만 Sₙ = a(rⁿ-1)/(r-1) 또는 a(1-rⁿ)/(1-r)를 씁니다.
등차수열과 등비수열을 어떻게 구분하나요?
연속한 항의 차가 일정하면 등차수열, 연속한 항의 비가 일정하면 등비수열입니다. 먼저 빼 보고, 안 되면 나눠 보는 순서가 쉽습니다.