제곱인 수 만들기 / 중1수학[소인수분해] 10강

제곱인 수는 왜 소인수가 짝을 이룰까

제곱인 수는 어떤 자연수를 자기 자신과 한 번 더 곱해 얻는 수입니다. 예를 들어 36은 6×6이므로 제곱인 수이고, 144는 12×12이므로 역시 제곱인 수입니다. 겉으로는 곱셈의 결과처럼 보이지만, 소인수분해로 살펴보면 제곱인 수에는 일정한 공통점이 있습니다. 같은 소인수가 반드시 두 개, 네 개, 여섯 개처럼 짝수 개씩 들어 있다는 점입니다.

36을 소인수분해하면 2×2×3×3이 됩니다. 2가 두 개이고 3도 두 개이므로 각각을 한 쌍으로 묶을 수 있습니다. 이를 지수로 쓰면 2²×3²이고, 다시 묶으면 (2×3)², 즉 6²입니다. 소인수의 지수가 모두 짝수이면 전체 수를 어떤 자연수의 제곱으로 정리할 수 있다는 뜻입니다.

반대로 12는 2×2×3으로 분해됩니다. 2는 한 쌍이지만 3은 혼자 남습니다. 그래서 12는 완전한 제곱인 수가 아닙니다. 12에 3을 곱하면 2×2×3×3이 되어 36이 되며, 이때 비로소 모든 소인수가 짝을 이룹니다. 혼자 남는 소인수를 찾아 짝으로 만들어 주는 일이 이 단원의 핵심입니다.

문제를 풀 때 제곱근을 먼저 떠올리지 않아도 괜찮습니다. 주어진 수를 소수들의 곱으로 차근차근 나누고, 같은 수를 두 개씩 묶는 장면을 상상하면 됩니다. 짝이 하나도 남지 않으면 이미 제곱인 수이고, 남는 것이 있으면 그 소인수를 한 번씩 더 곱해 주면 됩니다. 이 원리는 작은 수와 큰 수 모두에 똑같이 적용됩니다.

가장 작은 수를 곱하는 기본 절차

첫 단계는 주어진 수를 빠짐없이 소인수분해하는 것입니다. 나누어떨어지는 가장 작은 소수부터 시작해 몫이 1이 될 때까지 나누면 실수를 줄일 수 있습니다. 중1 과정에서는 2, 3, 5, 7처럼 익숙한 소수로 나누어 보는 습관이 중요합니다. 분해가 끝난 뒤에는 같은 소인수를 모아 지수로 표현하면 짝이 남는지 훨씬 쉽게 확인할 수 있습니다.

둘째 단계에서는 각 소인수의 개수를 세어 봅니다. 개수가 짝수라면 모두 짝지을 수 있으므로 손댈 필요가 없습니다. 개수가 홀수라면 한 개가 남으므로 같은 소인수를 한 번 더 곱해야 합니다. 지수로 보면 홀수 지수를 짝수 지수로 바꾸는 작업이며, 예를 들어 2³에는 2를 한 번 더 곱해 2⁴로 만드는 방식입니다.

셋째 단계는 필요한 소인수들을 모두 곱해 가장 작은 보충 수를 만드는 것입니다. 72=2³×3²라면 2의 지수 3만 홀수이므로 필요한 수는 2 하나뿐입니다. 따라서 72×2=144이고 144=2⁴×3²=12²입니다. 이미 짝수인 3²에 3을 더 곱하면 답이 커지므로, 최소 조건에 맞지 않습니다.

이 절차에서 중요한 말은 가장 작은 수입니다. 남는 소인수에 같은 소인수를 여러 번 곱하면 제곱인 수는 만들 수 있지만 최소가 아닐 수 있습니다. 필요한 만큼만 정확히 한 번씩 보충해야 합니다. 각 홀수 지수를 바로 다음 짝수로 만드는 최소 변화만 선택한다는 생각을 유지하면 답을 빠르게 결정할 수 있습니다.

예제 1: 72를 제곱인 수로 만들기

72를 소인수분해해 보겠습니다. 72는 8×9이므로 2×2×2×3×3으로 쓸 수 있고, 지수 형태로는 2³×3²입니다. 3의 지수는 2라서 이미 짝수이고, 2의 지수는 3이라서 홀수입니다. 따라서 2가 하나 남는다고 판단할 수 있습니다.

남는 2를 짝지으려면 2를 한 번 더 곱하면 됩니다. 그러면 72×2=144가 됩니다. 144의 소인수분해는 2⁴×3²이므로 모든 지수가 짝수입니다. 실제로 144는 12×12이어서 12²라고 쓸 수 있고, 우리가 구한 보충 수 2가 맞았음을 확인할 수 있습니다.

여기서 4를 곱해도 72×4=288이 되지만 288은 2⁵×3²라서 2의 지수가 다시 홀수가 됩니다. 6을 곱하면 2⁴×3³이 되어 이번에는 3이 남습니다. 보충 수를 무작정 크게 선택하는 대신, 원래 분해에서 홀수 번 나온 소수만 골라야 하는 이유가 분명해집니다.

계산을 검산하는 좋은 방법은 마지막 수의 제곱근을 찾는 것입니다. 144의 제곱근은 12이고, 12²=144가 성립합니다. 또는 2⁴=(2²)², 3²=(3)²처럼 각각을 제곱으로 바꾼 다음 곱해도 됩니다. 두 가지 검산을 번갈아 사용하면 지수 계산에서 생길 수 있는 작은 오류를 잡을 수 있습니다.

예제 2: 180에는 무엇을 곱해야 할까

180은 18×10으로 보고 소인수분해할 수 있습니다. 18은 2×3²이고 10은 2×5이므로 180=2²×3²×5입니다. 2와 3의 지수는 모두 짝수이지만 5의 지수는 1입니다. 따라서 5 하나가 혼자 남아 있다는 사실만 기억하면 다음 계산은 간단합니다.

가장 작은 보충 수는 5입니다. 180×5=900이고, 900=2²×3²×5²입니다. 모든 소인수의 지수가 짝수이므로 900은 제곱인 수입니다. 실제 계산으로도 30×30=900이므로 900=30²라고 확인할 수 있습니다. 답을 구한 뒤 소인수분해와 곱셈 검산이 같은 결론을 주는지 확인해 보세요.

180에 10을 곱하는 방법은 어떨까요. 180×10=1800은 2³×3²×5²가 되어 2가 홀수 번 남습니다. 25를 곱하면 2²×3²×5³이 되어 5가 홀수 번 남습니다. 이처럼 이미 짝수였던 소인수의 개수를 바꾸거나 필요한 소수를 두 번 더하면 최소 해답에서 멀어질 수 있습니다.

이 예제는 소인수의 종류가 여러 개여도 규칙은 바뀌지 않는다는 점을 보여 줍니다. 지수가 1인 5만 보충하면 되고, 지수가 2인 2와 3은 그대로 둡니다. 문제에 숫자가 커 보이더라도 지수의 홀짝만 판별하면 필요한 곱은 짧게 정리됩니다. 복잡한 곱셈보다 구조를 먼저 읽는 습관이 더 중요합니다.

여러 소인수가 남을 때는 모두 한 번씩 곱하기

한 종류만 남는 문제만 있는 것은 아닙니다. 예를 들어 150을 분해하면 2×3×5²가 됩니다. 5는 두 번이라서 짝을 이루지만 2와 3은 각각 한 번씩 남습니다. 제곱인 수를 만들려면 2와 3을 모두 한 번씩 더 곱해야 하므로, 가장 작은 보충 수는 2×3=6입니다.

실제로 150×6=900입니다. 소인수분해로 쓰면 2²×3²×5²가 되고, 이는 (2×3×5)²=30²입니다. 남은 소수가 둘 이상이면 그 소수들을 곱한 수가 보충 수가 된다는 사실을 확인할 수 있습니다. 단, 같은 소수가 홀수 지수로 남았는지 지수 표기를 통해 반드시 다시 점검해야 합니다.

예를 들어 600=2³×3×5²입니다. 2의 지수 3과 3의 지수 1이 모두 홀수이므로 필요한 수는 2×3=6입니다. 600×6=3600이고 3600=60²입니다. 이때 2³은 2가 세 개라는 뜻이므로 짝 하나를 만들고도 2가 하나 남는다는 점을 그림이나 동그라미 표시로 확인하면 이해가 쉬워집니다.

홀수 지수라는 표현이 낯설다면 두 개씩 지워 보는 방법을 사용해도 됩니다. 같은 소인수 두 개를 한 묶음으로 표시하고, 마지막에 표시되지 않은 수만 적습니다. 그 수들을 곱하면 필요한 최소 곱이 됩니다. 이후에는 지수 표기가 더 빠르다는 것을 느끼게 되므로, 두 표현을 연결해 연습하는 것이 좋습니다.

자주 하는 실수와 시험에서의 점검 방법

가장 흔한 실수는 소인수분해를 중간에 멈추는 것입니다. 예를 들어 48을 6×8로만 적어 두면 6과 8은 소수가 아니므로 짝의 개수를 제대로 셀 수 없습니다. 48=2⁴×3까지 끝까지 분해해야 3만 한 번 더 곱하면 된다는 결론이 나옵니다. 따라서 답은 3이고 48×3=144=12²입니다.

두 번째 실수는 홀수 지수인 소인수를 두 번 더 곱하는 경우입니다. 75=3×5²에서 필요한 것은 3 하나입니다. 3을 두 번 곱하면 3³×5²가 되어 오히려 3의 지수가 홀수가 됩니다. 짝이 없는 소인수는 정확히 한 개만 더해 지수를 바로 다음 짝수로 바꾼다는 문장을 기억해 두면 이런 실수를 예방할 수 있습니다.

세 번째 실수는 제곱인 수와 제곱수를 같은 방식으로 읽지 않는 것입니다. 제곱인 수는 어떤 자연수의 제곱으로 표현되는 수이며, 소인수분해에서 모든 지수가 짝수라는 조건으로 판정할 수 있습니다. 문제에서 최소의 자연수를 묻는다면 남는 소인수의 곱을 답으로 쓰고, 제곱인 수 자체를 묻는다면 원래 수에 그 답을 곱한 결과를 써야 합니다.

마지막 점검은 네 줄이면 충분합니다. 첫째 소인수분해를 완성했는지, 둘째 홀수 지수만 표시했는지, 셋째 표시한 소인수를 한 번씩만 곱했는지, 넷째 결과가 실제 제곱으로 확인되는지 살펴보세요. 이 순서를 습관으로 만들면 낯선 수가 나와도 풀이가 흔들리지 않습니다. 소인수분해는 단순 계산이 아니라 수의 구조를 읽는 도구라는 점을 기억하면 좋습니다.

풀이를 더 단단하게 만드는 연습

연습에서는 먼저 답을 계산하지 말고 소인수의 지수만 적어 보는 방법이 효과적입니다. 예를 들어 84를 분해하면 2²×3×7입니다. 2의 지수는 이미 짝수이고 3과 7의 지수는 홀수이므로, 필요한 수는 3×7입니다. 따라서 84에 21을 곱하면 1764가 되고 42²=1764이므로 제곱인 수가 됩니다. 숫자가 커졌다고 해서 새로운 규칙이 생기는 것은 아니며, 홀수 지수만 골라내는 과정이 답을 결정합니다.

252도 같은 방식으로 다룰 수 있습니다. 252=2²×3²×7이므로 7만 짝이 없습니다. 최소로 곱할 자연수는 7이고, 252×7=1764입니다. 흥미롭게도 앞의 84 문제와 결과가 같습니다. 원래 수가 다르더라도 부족한 소인수의 구성에 따라 같은 제곱인 수에 도달할 수 있다는 점을 볼 수 있습니다. 이런 비교는 소인수분해가 단순히 나눗셈 연습이 아니라 수 사이의 관계를 설명한다는 사실을 알려 줍니다.

문제에 제곱근 기호가 함께 나오면 소인수분해 결과를 두 묶음으로 나누어 읽어 보세요. 2⁶×3⁴×5²라면 2³×3²×5를 한 묶음으로 만들 수 있으므로 원래 수 자체가 이미 제곱인 수입니다. 반면 2⁶×3⁵×5²라면 3 하나가 남아 있으므로 3을 곱해야 합니다. 지수의 짝홀을 보면 루트 안에서 밖으로 꺼낼 수 있는 부분과 아직 남는 부분을 함께 이해할 수 있습니다.

답안을 쓸 때는 소인수분해, 필요한 곱, 결과의 제곱 표현을 순서대로 연결하면 채점자가 풀이를 쉽게 확인할 수 있습니다. 예를 들어 ‘300=2²×3×5²이므로 홀수 지수인 3을 한 번 더 곱한다. 따라서 300×3=900=30²이므로 구하는 가장 작은 자연수는 3이다’처럼 씁니다. 중간 이유를 한 문장 넣으면 단순히 답만 적는 것보다 실수가 줄고, 왜 그 수를 골랐는지도 분명해집니다.

마지막으로 약수와 배수의 관점에서도 생각해 볼 수 있습니다. 어떤 수에 곱할 수를 찾는 일은 그 수에 부족한 소인수를 채워 넣는 일입니다. 이미 들어 있는 소인수는 다시 크게 바꿀 필요가 없고, 짝을 이루지 못한 부분만 보완하면 됩니다. 이 생각은 최소공배수, 제곱근의 간단한 계산, 분수의 약분과 통분을 배울 때에도 이어집니다. 지금은 짝짓기 그림을 충분히 활용하고, 익숙해지면 지수의 홀짝을 보는 빠른 풀이로 옮겨 가면 됩니다.

스스로 확인할 수 있는 짧은 문제도 만들어 보세요. 45=3²×5이므로 5를 곱하면 225=15²가 됩니다. 108=2²×3³이므로 3을 곱하면 324=18²가 됩니다. 200=2³×5²이므로 2를 곱하면 400=20²가 됩니다. 각각에서 이미 짝인 소인수와 남는 소인수를 색으로 다르게 표시해 보면, 답이 왜 5와 3과 2가 되는지 눈으로도 확인할 수 있습니다.

풀이가 끝난 뒤에는 곱한 수가 정말 최소인지 한 번 더 묻는 습관을 들이세요. 필요한 소인수 이외의 다른 수가 섞여 있지 않은지, 같은 소인수를 두 번 이상 보충하지 않았는지 확인하면 됩니다. 최소 조건은 단순히 값이 작아 보인다는 뜻이 아니라, 모든 지수를 짝수로 만들면서 불필요한 인수를 넣지 않았다는 뜻입니다. 이 기준으로 검토하면 보기에서 제시하는 그럴듯한 오답도 쉽게 걸러낼 수 있습니다.

제곱인 수 만들기는 결국 ‘혼자 남는 소인수가 누구인가’를 찾는 문제입니다. 소인수분해를 끝까지 하고, 두 개씩 묶고, 남은 소인수를 각각 한 번 더 곱한 뒤 결과를 제곱으로 확인하면 됩니다. 이 네 동작을 반복해서 연습하면 숫자의 크기에 겁먹지 않게 됩니다. 다음 문제에서는 답을 바로 계산하려 하기보다, 먼저 지수의 홀짝을 표시하는 것부터 시작해 보세요.

정리: 지수의 홀짝으로 답을 찾는 법

소인수분해에서 제곱인 수를 판별하는 기준은 간단합니다. 모든 소인수의 지수가 짝수이면 그 수는 제곱인 수입니다. 하나라도 홀수이면 아직 짝을 이루지 못한 소인수가 있다는 뜻입니다. 따라서 주어진 수에 곱할 최소의 자연수는 홀수 지수를 가진 소인수를 한 번씩 모아 만든 수입니다. 이 규칙을 문장으로 외우기보다 실제 분해식에서 표시하며 사용해 보세요.

예를 들어 432=2⁴×3³입니다. 2⁴는 짝수 지수라서 그대로 두고, 3³은 홀수 지수라서 3을 한 번 보충합니다. 그러면 432×3=1296이고 1296=36²입니다. 반대로 432에 2를 곱하면 2⁵×3³이 되어 두 지수가 모두 홀수가 되므로 제곱인 수가 되지 않습니다. 보충해야 할 소수는 크기나 모양이 아니라 지수의 홀짝으로 결정됩니다.

또 다른 예로 675=3³×5²를 보겠습니다. 5²는 이미 두 개가 한 쌍이므로 필요한 것이 아닙니다. 3³에만 3을 더해 3⁴로 만들면 됩니다. 그래서 675×3=2025이며 2025=45²입니다. 이 문제에서 15를 곱하는 선택은 결과를 제곱인 수로 만들 수 있어도 최소가 아닙니다. 5는 원래부터 짝을 이루므로 추가할 이유가 없기 때문입니다.

시험에서는 결과가 큰 수여도 당황하지 말고 분해식으로 돌아가면 됩니다. 소인수분해를 한 줄에 쓰고, 홀수 지수 아래에만 동그라미를 친 뒤, 동그라미 친 소수를 곱해 답을 만드세요. 마지막에는 원래 수와 답을 곱한 분해식의 모든 지수가 짝수인지 확인합니다. 이렇게 하면 계산기 없이도 풀이의 방향을 정확히 잡을 수 있고, 복잡해 보이는 문제도 같은 원리 안에서 해결할 수 있습니다.

이 단원은 다음 학년의 제곱근과 무리수 학습에도 기초가 됩니다. 제곱인 수를 빠르게 알아보는 힘이 생기면 루트 안을 간단히 하거나 분모를 유리화하는 과정도 이해하기 쉬워집니다. 지금은 한 문제씩 소인수를 정확히 분해하고, 빠짐없이 짝을 확인하는 것이 가장 좋은 준비입니다. 정답보다 풀이 구조를 먼저 익히면 숫자가 바뀌어도 스스로 해결할 수 있습니다.

마무리 연습과 핵심 요약

마무리로 360을 살펴보겠습니다. 360=2³×3²×5입니다. 3²는 짝수이지만 2³과 5¹은 홀수이므로 2와 5를 각각 한 번 더 곱해야 합니다. 필요한 최소 수는 10이고, 360×10=3600=60²입니다. 이 한 문제에는 지수가 3인 소인수와 지수가 1인 소인수가 함께 들어 있어, 홀수 지수의 종류를 모두 확인해야 한다는 점을 잘 보여 줍니다.

답을 찾은 뒤에는 결과를 제곱으로 읽어 보세요. 3600은 36×100이므로 6²×10², 즉 60²입니다. 소인수분해로 확인한 결론을 익숙한 곱셈으로도 검산하면 계산 감각이 좋아집니다. 다만 검산은 답을 찾은 뒤의 확인 단계이고, 최소 곱을 처음 결정할 때에는 소인수 지수의 홀짝을 보는 방법이 가장 안정적입니다.

핵심을 한 줄로 말하면 ‘홀수 번 나온 소인수를 한 번씩 더 곱한다’입니다. 이때 서로 다른 소인수가 여러 개면 모두 곱하고, 이미 짝수 번 나온 소인수는 건드리지 않습니다. 이 규칙으로 12, 72, 150, 180, 360처럼 다양한 수를 같은 방식으로 해결할 수 있습니다. 문제를 볼 때마다 분해식과 짝짓기를 먼저 적는 습관을 만들어 보세요.

처음에는 소인수 옆에 동그라미나 색 표시를 해도 좋습니다. 익숙해지면 지수만 보고도 필요한 수를 빠르게 말할 수 있습니다. 하지만 빠른 풀이보다 중요한 것은 왜 그 수가 필요한지 설명할 수 있는 것입니다. 소인수의 짝을 완성한다는 이유를 끝까지 붙잡으면, 제곱인 수 만들기 문제는 복잡한 계산이 아니라 명확한 규칙 찾기 문제가 됩니다.

복습을 위한 마지막 확인

마지막으로 답을 구한 뒤에는 소인수분해를 다시 한 번 적어 모든 지수가 짝수인지 확인합니다. 이 검산은 계산이 길어질수록 특히 유용합니다. 짝이 없는 소인수가 남아 있다면 그 소수를 빠뜨렸다는 뜻이고, 필요 없는 소인이 더해졌다면 최소 조건을 다시 살펴야 합니다. 정확한 분해와 짝짓기 확인을 함께 하면 제곱인 수 만들기 문제를 자신 있게 해결할 수 있습니다.