학습 · 중등 수학
할선 정리와 접현각: 중3 도형에서 그림을 읽는 법
할선의 길이 관계와 접선·현이 만드는 각을 그림에서 정확히 찾아 식과 각도로 옮기는 방법을 정리합니다.
먼저 구분할 요소
할선과 접선은 원 밖의 한 점에서 시작하는 선을 다루기 때문에, 그림을 보자마자 곱셈식을 외우는 방식보다 출발점을 먼저 찾는 습관이 중요합니다. 할선은 원을 두 점에서 지나가고, 접선은 원과 한 점에서만 만납니다. 이 차이를 확인하면 문제에서 준 길이가 바깥 부분인지, 원 안쪽까지 포함한 전체 길이인지가 분명해집니다. 특히 선분의 끝점 이름이 많을수록 작은 글자 하나를 놓치기 쉬우므로, 외부점에 동그라미를 하고 각 선이 원을 처음 만나는 점과 두 번째로 만나는 점을 차례로 표시해 두는 것이 좋습니다.
할선 정리의 기본식
중3 도형에서 할선 정리는 닮음이나 각의 성질과 함께 나오는 경우가 많지만, 계산의 중심은 한 외부점에서 뻗은 두 할선입니다. 외부점에서 가까운 교점까지의 길이에 같은 선 위의 전체 길이를 곱하고, 다른 할선에서도 같은 방식으로 곱한 값과 같게 둡니다. 예를 들어 PA가 바깥 부분이고 PB가 원을 지난 전체 길이이며, PC와 PD가 다른 할선의 바깥 부분과 전체 길이라면 PA×PB=PC×PD로 씁니다. 원 안쪽의 길이만 적힌 경우에는 바깥 부분을 더해 전체 길이를 만든 뒤 식에 넣어야 합니다.
전체 길이를 만드는 이유
이 정리를 사용할 때 가장 흔한 실수는 가까운 점까지의 길이와 원 안쪽의 길이를 바로 곱하는 것입니다. 두 길이는 같은 선분 위에 있어 보여도 역할이 다릅니다. 식의 두 번째 인수는 외부점에서 먼 교점까지의 전체 거리여야 합니다. 문제에 ‘원 내부의 길이’가 6, ‘외부의 길이’가 4로 주어졌다면 전체 길이는 10입니다. 따라서 4×10을 써야 하며 4×6을 쓰면 안 됩니다. 숫자를 식 옆에 쓰기 전에 외부점부터 선분을 따라 화살표를 그려 끝점까지 한 번 읽어 보세요.
접선이 섞인 길이 관계
접선이 포함된 형태도 같은 관점으로 정리할 수 있습니다. 외부점 P에서 원에 그은 접선의 길이를 PT, 할선의 바깥 부분을 PA, 전체 길이를 PB라고 하면 PT의 제곱은 PA×PB와 같습니다. 접선은 원을 한 번만 만나므로 접선 길이를 두 번 곱하는 꼴이 된다는 점이 특징입니다. 이 식을 만나면 제곱근을 구할 때 양의 길이만 선택해야 한다는 것도 함께 기억해야 합니다. 도형의 길이는 음수가 될 수 없으므로 계산 결과가 음수라면 식을 세운 순서부터 다시 확인해야 합니다.
접현각의 뜻과 대응
접현각은 접선과 현이 만나는 점에서 생기는 각을 말합니다. 여기서 핵심은 접선과 현 사이의 각이 그 현을 바라보는 반대쪽 원주각과 같다는 사실입니다. 접점 A에서 접선과 현 AB가 만드는 각을 찾을 때, 원의 반대편 호 위에 있는 점 C를 잡아 ∠ACB를 찾으면 두 각이 대응합니다. 각을 찾는 문제에서는 길이 정리와 달리 어느 호를 바라보는지를 읽는 일이 더 중요합니다. 같은 현 AB를 양 끝으로 삼는 각인지 확인하면 대응 각을 안정적으로 찾을 수 있습니다.
접현각에서 큰 각을 읽는 법
접현각 문제는 그림의 바깥쪽에 표시된 각이 낯설어서 보각이나 수직각을 무작정 더하는 실수가 자주 나옵니다. 먼저 접선과 현이 직접 만드는 작은 각을 표시하고, 그 현의 양 끝점을 연결한 원주각을 원 반대편에서 찾으세요. 만약 문제에서 바깥쪽의 큰 각을 물었다면 180도에서 작은 접현각을 빼야 할 수도 있습니다. 그러나 이 보각 계산은 접현각 자체를 확인한 다음 단계입니다. 처음부터 큰 각에 성질을 적용하지 말고, 도형에 표시된 호와 현을 기준으로 정확히 같은 현을 바라보는지 점검하는 편이 안전합니다.
길이와 각을 함께 다룰 때
할선 정리와 접현각이 한 문제 안에 같이 나오면, 길이와 각의 정보를 분리해 메모하는 것이 좋습니다. 길이에는 외부점, 가까운 교점, 먼 교점을 순서대로 적고, 각에는 접선·현·원주각이라는 표시를 따로 붙입니다. 길이 식을 세울 때 각의 수치를 끌어오거나, 각의 대응을 찾을 때 선분 길이를 기준으로 판단하면 복잡해집니다. 먼저 각을 이용해 닮음이나 필요한 각을 확정하고, 그 다음에 길이 관계를 쓰는 순서가 자연스럽습니다. 각도와 길이는 서로 연결될 수 있지만, 각각의 성질이 요구하는 조건을 따로 만족하는지 확인해야 합니다.
할선 정리 계산 예제
예제로 외부점 P에서 두 할선을 그어 가까운 점을 A와 C, 먼 점을 B와 D라고 하겠습니다. PA가 3, AB가 9, PC가 4일 때 PD를 구하려면 먼저 PB=3+9=12를 만듭니다. 그 다음 3×12=4×PD이므로 PD=9가 됩니다. 여기서 PD는 C에서 D까지의 원 내부 길이가 아니라 P에서 D까지의 전체 길이입니다. 만약 CD를 묻는다면 PD-PC인 5가 답입니다. 문제의 질문이 전체 길이인지 내부 길이인지 마지막에 다시 읽는 것만으로도 상당수의 오답을 막을 수 있습니다.
접선 길이 계산 예제
접선 길이 예제도 같은 방식으로 풀 수 있습니다. 외부점 P에서 접선 PT를 그리고, 할선이 원과 A, B에서 만난다고 합시다. PA가 4이고 AB가 5라면 PB는 9입니다. 따라서 PT²=4×9=36이고 PT=6입니다. 제곱근 계산 뒤에 길이가 6이라는 결론을 쓰는 과정까지가 답안입니다. 만약 PT가 6인지 -6인지 묻는 선택지가 있다면 도형의 선분 길이라는 조건으로 양수 6을 고릅니다. 계산 과정에서 전체 길이 9를 먼저 만든 이유도 답안에 한 줄 적으면 채점자가 식의 의미를 이해하기 쉽습니다.
접현각 계산 예제
각도 예제에서는 현 AB와 접점 A의 접선을 생각해 봅시다. 원 위의 C에서 ∠ACB가 38도라면, 접선과 현 AB가 만드는 접현각도 38도입니다. 반대로 접점에서 바깥쪽으로 열린 각을 묻고 그것이 이 접현각의 이웃각이라면 180-38=142도가 됩니다. 두 답이 모두 그림에 보일 수 있으므로, 문제의 표시가 작은 각인지 큰 각인지 반드시 확인해야 합니다. 현의 끝점 A와 B를 다시 따라가며 C가 그 현을 바라보는 원주각의 꼭짓점인지 확인하면 각의 대응을 헷갈리지 않습니다.
풀이 전 확인할 세 가지
시험이나 숙제에서 빠르게 풀려면 도형 옆에 세 가지 질문을 적어 두면 좋습니다. 첫째, 원 밖의 공통 출발점은 어디인가. 둘째, 할선의 전체 길이는 어느 점까지인가. 셋째, 접선과 현이 공유하는 현의 양 끝점은 무엇인가. 이 질문에 답한 뒤에만 식이나 각의 등식을 적으면 그림이 조금 기울어져 있어도 흔들리지 않습니다. 길이는 ‘외부×전체’, 접선은 ‘접선²=외부×전체’, 각은 ‘접선과 현의 각=반대쪽 원주각’처럼 짧은 말로 정리하되, 실제 문제에서는 점 이름으로 다시 바꾸어 쓰는 습관이 필요합니다.
답을 내기 전 검산
검산 단계에서는 수치만 다시 계산하지 말고 도형의 크기 관계도 봐야 합니다. 바깥 부분보다 전체 길이가 짧게 나왔다면 더하기를 빠뜨렸을 가능성이 큽니다. 접선 길이의 제곱이 양수여야 한다는 점과, 원 내부 길이는 전체 길이에서 바깥 부분을 뺀 값이라는 점도 확인합니다. 각 문제에서는 같은 현을 바라보는 두 각이 맞는지, 보각을 요구한 표시는 없는지 다시 봅니다. 특히 접점에서 그어진 반지름과 접선이 이루는 직각은 접현각 성질과 다른 정보이므로, 둘을 혼동하지 않는 것이 중요합니다.
핵심 정리와 연습법
정리하면 할선 정리는 원 밖의 한 점에서 나온 선분의 길이 관계를 다루고, 접현각은 접선과 현이 만드는 각을 원주각으로 옮겨 읽는 성질입니다. 두 주제 모두 그림의 위치를 말로 번역하는 과정이 먼저입니다. 외부점부터 먼 교점까지의 전체 길이를 만들고, 현의 양 끝점을 기준으로 반대쪽 원주각을 찾으면 풀이가 훨씬 단단해집니다. 문제를 많이 풀기 전에 한 장의 그림에 외부·전체·접선·현·반대쪽 원주각을 직접 색으로 표시해 보는 연습을 해 보세요. 공식 암기보다 도형을 읽는 힘이 먼저 생깁니다.
점 이름을 읽는 순서
점의 이름을 읽는 순서도 답안의 정확도를 높여 줍니다. 외부점이 P이고 한 할선이 P-A-B 순서라면 P에서 출발해 A를 지나 B에 도착한다는 뜻입니다. 여기서 PA는 바깥 부분, PB는 전체 길이, AB는 원 안쪽 길이입니다. 같은 그림을 P-B-A 순서로 읽어 버리면 가까운 점과 먼 점이 바뀌어 식의 뜻이 무너집니다. 선분 기호의 양 끝을 실제로 손가락으로 따라가며 ‘P에서 A까지’, ‘P에서 B까지’라고 소리 내어 확인해 보세요. 점 이름이 알파벳 순서와 무관하다는 사실을 받아들이면 복잡한 도형에서도 훨씬 덜 헷갈립니다.
적용 조건을 확인하는 법
할선 정리는 비례식처럼 보이지만, 무조건 교차하는 두 직선에 적용하는 공식은 아닙니다. 두 선이 같은 원을 지나고, 연장했을 때 원 밖의 공통점에서 출발해야 합니다. 원 내부에서 두 현이 교차하는 문제는 다른 길이 관계를 사용하므로 외부점이 있는지부터 확인해야 합니다. 또 서로 다른 원이 한 그림에 함께 그려진 경우에는 어느 원의 교점인지 표시합니다. 조건을 확인하지 않고 숫자만 비슷하다는 이유로 공식을 선택하면 계산은 매끄러워도 근거가 없는 답이 됩니다. 식을 쓰기 전 ‘공통 외부점, 같은 원, 두 할선’을 작게 체크하는 습관이 도움이 됩니다.
반지름과 접선의 직각 구분
접선의 성질을 사용할 때는 접점에서 반지름과 접선이 수직이라는 정보도 자주 등장합니다. 이 직각은 접현각과 역할이 다릅니다. 반지름 OA와 접선이 만나면 90도를 만들고, 접선과 현 AB가 만나면 접현각을 만듭니다. 한 그림에 두 성질이 함께 있으면 90도에서 다른 각을 빼거나 더해 필요한 각을 만들 수 있지만, 처음에는 각의 꼭짓점과 양변을 정확히 분리해야 합니다. 접점 A에서 이루어진 각이라도 한 변이 반지름인지 현인지에 따라 사용할 성질이 달라집니다. 각 옆에 ‘반지름-접선’ 또는 ‘접선-현’이라고 메모하면 공식을 바꿔 쓰는 실수를 줄일 수 있습니다.
서술형 답안에 쓰는 근거
서술형 풀이에서는 결과만 쓰기보다 전체 길이를 만드는 한 줄과 대응 성질을 밝히는 한 줄이 중요합니다. 예를 들어 ‘PB=PA+AB=12이므로 PA×PB=PC×PD’처럼 적으면 어떤 길이를 곱했는지 드러납니다. 접현각에서는 ‘접선과 현 AB가 만드는 각은 현 AB를 바라보는 ∠ACB와 같으므로’라고 쓴 뒤 수치를 대입하면 됩니다. 이 표현은 긴 설명을 요구하지 않으면서도 도형의 조건을 이용했다는 근거를 보여 줍니다. 문제의 점 이름만 바꾸어 그대로 적용할 수 있으므로, 자신만의 답안 문장 틀로 익혀 두는 것도 좋습니다.
보조선을 사용할 때의 기준
도형이 복잡하면 보조선을 그려도 되는지 망설일 수 있습니다. 원주각을 찾기 어려울 때는 접점과 현의 양 끝점, 그리고 호 위의 점을 선으로 연결해 삼각형을 드러내면 좋습니다. 다만 이미 그어진 선과 다른 성질을 새로 가정해서는 안 됩니다. 보조선은 존재하는 점을 연결해 관계를 보이게 하는 도구이지, 길이나 각의 값을 마음대로 추가하는 장치가 아닙니다. 새 선을 그린 뒤에는 그 선이 만든 삼각형의 내각합, 이등변삼각형 여부, 원주각 여부를 각각 근거와 함께 확인하세요. 표시가 많아졌다면 원래 문제의 구하는 값에 직접 연결되는 부분만 남기는 것도 풀이를 깔끔하게 합니다.
연습 순서와 복습법
연습 문제를 고를 때는 숫자 계산이 쉬운 문제부터 시작해 구조를 익히는 편이 효율적입니다. 한 문제에서는 외부 길이와 내부 길이를 더해 전체 길이를 만들고, 다음 문제에서는 접선 길이의 제곱을 구해 보세요. 그 뒤 접현각의 작은 각과 보각을 각각 묻는 그림을 비교하면 표시의 의미가 또렷해집니다. 답을 맞힌 뒤에는 다른 숫자를 넣었을 때도 같은 선분 쌍과 같은 현을 선택했는지 확인합니다. 공식의 문자만 외우는 대신, ‘바깥 부분×전체 길이’와 ‘같은 현을 보는 반대쪽 원주각’이라는 문장으로 설명할 수 있어야 낯선 도형에도 적용할 수 있습니다.
시험 직전 빠른 점검
마지막으로 시험 시간에는 그림을 예쁘게 다시 그리는 데 시간을 모두 쓰기보다 필요한 표시만 추가하세요. 외부점에는 P 표시를 동그라미 치고, 전체 길이에 밑줄을 긋고, 접현각과 대응 원주각에는 같은 색 또는 같은 기호를 붙이면 충분합니다. 계산이 끝난 후 단위가 있는 길이인지 각도인지도 확인합니다. 길이 문제의 답을 도 단위로 쓰거나 각 문제의 답에 제곱을 남기는 실수는 서두를 때 생기기 쉽습니다. 한 문제당 마지막 10초를 남겨 질문 문장과 답의 종류를 맞춰 보는 습관이 할선 정리와 접현각 단원에서 가장 실용적인 안전장치가 됩니다.
정보를 표로 정리하기
풀이가 막힐 때는 식을 지우기 전에 이미 확실한 정보부터 표로 옮겨 보세요. 한 열에는 선분 이름, 다음 열에는 외부점에서의 거리인지 원 내부 거리인지, 마지막 열에는 사용 위치를 적습니다. 예를 들어 PA는 외부, PB는 전체, AB는 내부라고 나누면 곱셈식에 들어갈 두 값이 자동으로 정리됩니다. 각도도 마찬가지로 접점의 각, 같은 현을 보는 원주각, 이웃한 보각을 별도로 적으면 38도와 142도 중 무엇을 답해야 하는지 분명해집니다. 이 방법은 계산을 늘리는 것이 아니라 그림 정보를 정돈해 실수를 줄이는 방법입니다.
말로 설명하며 복습하기
친구에게 설명하는 방식으로 한 번 복습해 보면 이해가 더 오래 남습니다. 할선 정리는 ‘원 밖에서 시작한 길이는 바깥 부분과 끝까지의 전체 길이를 짝지어 곱한다’고 말해 보세요. 접현각은 ‘접선과 현의 각을 같은 현의 반대쪽 원주각으로 옮겨 본다’고 설명할 수 있습니다. 설명 중에 어느 점까지가 전체인지, 어떤 현을 말하는지 손으로 가리키지 못한다면 그 부분을 다시 그려 보면 됩니다. 정확한 문장과 간단한 그림을 함께 반복하면 공식이 단순한 기호가 아니라 도형의 관계로 기억됩니다.
자주 묻는 질문
할선 정리에서 원 안쪽 길이만 주어지면 어떻게 하나요?
외부점에서 가까운 교점까지의 길이를 더해 먼 교점까지의 전체 길이를 만든 뒤 식에 넣습니다.
접현각은 항상 원주각과 같은가요?
접선과 현이 만드는 각은 그 현을 바라보는 반대쪽 원주각과 같습니다. 같은 현인지 확인해야 합니다.