삼각함수 미분공식 (sin, cos, tan, csc, sec, cot) 뽀개기

먼저 큰 지도를 잡기: 여섯 공식은 따로 외우지 않는다

삼각함수 미분공식을 처음 외울 때 가장 흔한 실수는 sin, cos, tan, csc, sec, cot을 여섯 장의 낱말 카드처럼 떼어 놓는 일입니다. 실제로는 기본 세 함수와 그 역수 함수가 서로 이어진 하나의 지도에 가깝습니다. 가장 중심에는 sin x를 미분하면 cos x가 되고, cos x를 미분하면 -sin x가 된다는 순환이 있습니다. 이 두 줄을 정확히 잡으면 tan x의 도함수 sec²x, sec x의 도함수 sec x tan x, cot x의 도함수 -csc²x, csc x의 도함수 -csc x cot x도 무작정 낯선 문장이 아니라 관계가 있는 결과로 읽히기 시작합니다. 시험에서 공식을 떠올려야 할 때에는 긴 설명보다 sin에서 cos로, cos에서 음의 sin으로 이동하는 화살표를 머릿속에 먼저 그려 보세요. 그 다음에 tan과 cot, sec와 csc의 짝을 붙이면 기억할 자리가 분명해집니다.

공식의 표준형은 다음과 같습니다. (sin x)'=cos x, (cos x)'=-sin x, (tan x)'=sec²x, (sec x)'=sec x tan x, (cot x)'=-csc²x, (csc x)'=-csc x cot x입니다. 여기서 프라임 기호는 x에 대한 미분을 뜻하며, 각도 단위는 라디안이라는 전제가 중요합니다. 고등학교와 대학의 미적분 문제에서 이 공식들이 자연스럽게 쓰이는 이유도 라디안에서 극한값이 정리되기 때문입니다. 도 단위를 입력한 계산기의 수치를 그대로 미분 공식에 섞으면 상수 배율이 어긋날 수 있으므로, 기호 계산에서는 x를 라디안 변수로 다루는 습관을 들이는 편이 안전합니다. 공식 자체를 암기하는 단계와 라디안이라는 조건을 확인하는 단계를 함께 묶어 두면 작은 실수를 줄일 수 있습니다.

여섯 식을 볼 때 결과의 모양도 관찰해 보세요. sin과 cos의 도함수는 다시 sin 또는 cos 하나로 끝납니다. 반면 tan과 cot의 도함수는 제곱이 붙고, sec와 csc의 도함수는 자기 자신에 짝 함수가 곱해집니다. 이 모양은 단순한 우연이 아닙니다. tan x=sin x/cos x, sec x=1/cos x, cot x=cos x/sin x, csc x=1/sin x라는 정의가 뒤에 있기 때문입니다. 따라서 분수 형태를 떠올릴 수 있다면 공식이 잠시 기억나지 않아도 몫의 미분법이나 합성함수 미분법으로 복구할 수 있습니다. 좋은 암기는 공식만 저장하는 방식보다, 정의와 결과의 모양을 연결해 두는 방식입니다.

학습 순서는 짧고 자주 되돌아오는 방식이 좋습니다. 처음에는 여섯 공식을 빈 종이에 보고 쓰고, 다음에는 가려 놓고 sin과 cos만 적습니다. 이어서 tan과 cot을 정의에서 복구한 뒤 sec와 csc를 붙여 보세요. 틀린 공식은 붉은 표시만 남기는 대신, 왜 틀렸는지 한 단어로 적는 편이 효과적입니다. 예컨대 cot의 음수를 빼먹었다면 ‘분모 sin’이라고 기록할 수 있습니다. 다음 회차에는 그 단어가 계산의 출발점이 됩니다. 공식 목록을 오래 바라보는 것보다, 기억에서 꺼냈다가 근거로 고치는 활동이 실제 문제 상황과 더 비슷합니다. 각 공식 옆에 정의와 항등식 하나씩을 적어 두면 단순 암기와 이해 사이의 다리가 만들어집니다.

sin과 cos: 단위원, 그래프, 부호를 한 번에 이해하기

sin x와 cos x는 단위원 위 점의 좌표에서 시작합니다. 각 x에 대응하는 점을 (cos x, sin x)라고 쓰면 가로좌표가 cos이고 세로좌표가 sin입니다. 각이 아주 조금 변할 때 세로좌표가 변하는 속도는 가로좌표와 연결되고, 그래서 sin x의 순간변화율이 cos x가 됩니다. 그래프로도 같은 감각을 얻을 수 있습니다. y=sin x의 꼭대기 근처에서는 그래프가 잠시 평평해지므로 기울기가 0에 가까운데, 그 위치에서 cos x도 0입니다. x=0 근처에서는 sin 그래프가 가장 가파르게 올라가고 cos 0=1이므로 기울기가 1이라는 사실과 맞아떨어집니다. 한 가지 장면만 외우기보다 좌표와 그래프의 관찰을 함께 사용하면 공식이 훨씬 덜 추상적으로 느껴집니다.

cos x를 미분하면 왜 -sin x가 되는지도 변화의 방향을 보면 이해할 수 있습니다. x=0에서 cos 그래프는 가장 높은 곳에 있고 접선은 수평이므로 도함수 값은 0입니다. 조금 오른쪽으로 움직이면 cos 값은 내려가기 시작하므로 기울기는 음수가 됩니다. 이 구간에서 sin x는 양수이므로 -sin x가 음수라는 부호가 정확히 들어맞습니다. x=π에서는 cos가 가장 낮은 곳에 있으며 다시 기울기가 0이 되고, 그 뒤에는 cos가 올라가므로 기울기는 양수로 바뀝니다. 그때 sin x는 음수이므로 -sin x는 양수가 됩니다. 마이너스 기호를 기계적으로 붙이는 대신 그래프가 내려가는 구간과 올라가는 구간을 대조하면 부호를 더 오래 기억할 수 있습니다.

문제 풀이에서는 기본공식에 합성함수 미분이 붙는 경우가 많습니다. 예를 들어 sin(3x-1)을 미분하면 바깥의 sin을 cos로 바꾸어 cos(3x-1)을 쓰고, 안쪽 3x-1의 미분값 3을 곱해 3cos(3x-1)이 됩니다. cos(x²)을 미분할 때는 -sin(x²)에 안쪽 x²의 미분값 2x를 곱해 -2x sin(x²)이 됩니다. 괄호 속을 그대로 보존한 뒤 마지막에 안쪽 미분을 곱하는 순서를 지키면, sin과 cos 공식의 부호나 계수를 놓칠 가능성이 작아집니다. 특히 -sin이라는 바깥 미분 결과와 안쪽에서 나온 음수가 만나는 상황에서는 두 음수의 곱을 마지막 줄에서 천천히 정리하는 편이 좋습니다.

미분값을 특정 점에서 묻는 문제는 식을 전부 전개하기보다 대입 순서를 관리하면 빨라집니다. y=sin(2x+π/6)의 x=π/6에서의 변화율을 구한다면 먼저 y'=2cos(2x+π/6)를 만든 후 x를 넣습니다. 안쪽 각은 π/2가 되어 cos(π/2)=0이므로 답은 0입니다. 도함수를 만들기 전에 원래 함수에 값을 넣는 방식은 순간변화율을 찾는 문제에서 목적이 달라질 수 있습니다. 또 cos의 도함수에 붙는 음수를 마지막에 붙이겠다고 미루면 실수가 생기므로, y'=-sin(안쪽)×안쪽미분처럼 한 줄에 구조를 적는 편이 낫습니다. 이런 표기 습관은 복합 삼각함수에서 부호를 잃지 않게 해 줍니다.

tan의 미분: sec²가 나오는 이유와 자주 쓰는 변형

tan x의 미분공식은 (tan x)'=sec²x입니다. 이 결과는 tan x가 sin x/cos x라는 사실에서 곧바로 확인할 수 있습니다. 몫의 미분법을 쓰면 분자는 cos x·cos x에서 sin x·(-sin x)를 빼는 형태가 되어 cos²x+sin²x가 됩니다. 피타고라스 항등식으로 이 값은 1이므로 전체는 1/cos²x가 되고, 이것이 sec²x입니다. 공식을 외운 뒤에도 이 짧은 유도 경로를 알고 있으면 sec²라는 결과가 왜 제곱인지 설명할 수 있습니다. 또한 분모가 cos²x이므로 cos x가 0인 지점에서는 tan 자체가 정의되지 않는다는 사실도 동시에 떠올릴 수 있습니다.

sec²x는 1+tan²x와 같다는 항등식도 자주 사용됩니다. 그래서 도함수 값을 tan으로만 표현해야 하는 문제라면 sec²x 대신 1+tan²x를 선택할 수 있습니다. 예를 들어 y=tan x의 x=π/4에서의 기울기는 sec²(π/4)=2이고, tan(π/4)=1을 이용해 1+tan²(π/4)=2라고 확인할 수도 있습니다. 다만 두 표현이 항상 같은 뜻이라는 점과 별개로, 문제에서 주어진 정보가 무엇인지에 따라 편한 쪽을 고르는 것이 좋습니다. tan 값만 주어졌다면 1+tan²x가 빠르고, cos 값이 주어졌다면 1/cos²x가 더 자연스럽습니다.

합성함수에서는 tan의 안쪽을 먼저 표시하는 버릇이 도움이 됩니다. y=tan(5x)라면 도함수는 5sec²(5x)입니다. y=tan(x³+2)라면 3x²sec²(x³+2)입니다. 여기서 sec²는 sec에만 제곱이 붙는 표기라는 점도 분명히 해야 합니다. sec²u는 (sec u)²이고, sec(u²)와는 전혀 다릅니다. 괄호 안의 변수를 u라고 임시로 치환해 쓰면 표기가 덜 헷갈립니다. u=x³+2라고 두고 y=tan u, y'=sec²u·u'라고 쓴 다음 되돌리는 방식은 복잡한 식에서 특히 유용합니다.

tan 공식은 그래프의 수직점근선과도 연결해 생각할 수 있습니다. cos x가 0인 x=π/2+kπ에서는 tan x가 정의되지 않으며, 그 근처에서 기울기의 크기도 매우 커집니다. sec²x는 항상 0 이상이고 정의되는 곳에서는 양수이므로, tan 그래프가 각 구간에서 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 증가한다는 사실과 일치합니다. 이 관찰은 그래프를 그리거나 증가·감소를 판단하는 문제에서 유용합니다. 미분공식이 단지 계산을 위한 규칙이 아니라 함수의 모양을 설명하는 언어라는 점을 기억해 두면, sec²라는 제곱 기호도 의미 없이 외워지지 않습니다. 단, 점근선 자체에서는 함수와 도함수 모두 정의되지 않는다는 경계 조건은 별도로 표시해야 합니다.

csc·sec·cot: 역수 관계로 부호까지 정리하고 점검하기

sec x와 csc x는 각각 cos x와 sin x의 역수입니다. sec x=1/cos x를 미분하면 분모의 cos x가 미분될 때 -sin x가 나오고, 역수 미분에서 또 음수가 생겨 결과적으로 sec x tan x가 됩니다. 계산을 전개하면 sin x/cos²x인데, 이를 1/cos x와 sin x/cos x의 곱으로 나누어 보면 sec x tan x가 됩니다. csc x=1/sin x는 비슷하지만 sin의 미분이 cos x이므로 최종 부호가 음수로 남습니다. 따라서 (csc x)'=-csc x cot x입니다. sec와 csc를 한 쌍으로 볼 때 sec에는 양수, csc에는 음수가 있다는 대비를 기억하면 좋습니다.

cot x는 cos x/sin x이므로 몫의 미분을 적용하면 분자에서 -sin²x-cos²x가 생깁니다. 결국 -1/sin²x, 즉 -csc²x가 됩니다. tan의 도함수가 양의 sec²x였던 것과 비교하면 tan과 cot은 서로 역수 관계이면서 부호가 다르다는 점이 핵심입니다. 암기 문장으로 끝내기보다 tan은 cos가 분모이고 cot은 sin이 분모라는 정의를 한번 적어 보면 이유가 보입니다. 분모를 미분할 때 어떤 부호가 생기는지 따라가면 cot에만 음수가 붙는 결과를 다시 만들 수 있습니다. 이 복구 방법은 시험 직전에 공식 한 줄이 흐릿해졌을 때도 유용합니다.

마지막 점검은 세 갈래로 하면 충분합니다. 첫째, 기본쌍 sin→cos, cos→-sin의 부호를 확인합니다. 둘째, tan과 cot에는 제곱이 붙는다는 모양을 확인합니다. 셋째, sec와 csc에는 자기 함수와 짝 함수의 곱이 나온다는 모양을 확인합니다. 예를 들어 y=3csc(2x)라면 상수 3은 남기고 csc의 미분 결과 -csc(2x)cot(2x)에 안쪽 미분 2를 곱하므로 -6csc(2x)cot(2x)가 됩니다. y=-sec(x²)라면 바깥의 음수, sec의 미분, 안쪽의 2x를 차례로 곱해 -2x sec(x²)tan(x²)가 됩니다. 공식, 안쪽 미분, 원래 상수를 분리해 표시하는 습관이 가장 믿을 만한 실전 방어막입니다.

연습을 마칠 때는 빈칸 문제와 검산 문제를 섞어 보세요. ‘(csc x)’의 도함수에 무엇이 곱해지는가’를 묻는 빈칸에는 -csc x cot x를 쓰고, 누군가가 적은 -sec²x가 왜 틀렸는지도 정의로 설명해 봅니다. 또한 tan과 cot의 항등식, sec와 csc의 역수 관계를 짧게 적어 보면서 공식이 맞는지 다시 확인합니다. 서로 다른 규칙이 한 줄에 섞인 식에서는 상수배, 바깥함수, 안쪽함수 순으로 색을 달리 표시해도 좋습니다. 정답을 맞혔는지보다 어느 지점에서 부호와 괄호가 바뀌었는지를 추적하는 연습이 다음 문제의 정확도를 올립니다. 결국 삼각함수 미분은 여섯 문장을 외우는 단원이 아니라, 정의와 그래프와 합성 규칙을 한꺼번에 정돈하는 단원입니다.

공식 적용 전후에 정의역을 확인하는 습관도 중요합니다. sin과 cos는 모든 실수에서 정의되지만, tan과 sec는 cos x가 0일 때 쓸 수 없습니다. cot과 csc는 sin x가 0일 때 정의되지 않습니다. 도함수를 구하는 과정에서 원래 함수가 정의되지 않은 점을 답에 포함시키면 안 됩니다. 예를 들어 tan x의 도함수 sec²x는 모양만 보면 모든 x에서 양수처럼 보이지만, x=π/2에서는 tan x도 sec²x도 정의되지 않습니다. 증가한다는 결론을 쓸 때에는 점근선으로 나뉜 각각의 구간 안에서 증가한다고 표현해야 정확합니다. 이 정의역 확인은 미분공식 암기와 별개의 귀찮은 절차가 아니라, 그래프와 부호 해석을 안전하게 만드는 기준선입니다.

역삼각함수와 혼동하지 않는 것도 좋습니다. sec x는 cos x의 역수이고, arccos x는 cos의 역함수라는 점에서 이름은 비슷하지만 전혀 다른 대상입니다. csc와 cot도 마찬가지입니다. 문제에 -1 지수 표기가 나오면 문맥을 확인해야 합니다. (sin x)^-1은 보통 1/sin x, 즉 csc x를 뜻할 수 있지만, sin⁻¹x는 교재에 따라 arcsin x를 뜻하는 관례도 있기 때문입니다. 혼동을 피하려면 역수는 분수나 csc·sec·cot 표기로 쓰고, 역함수는 arcsin·arccos·arctan 표기로 구분하는 편이 명료합니다. 삼각함수 미분에서 용어를 정확히 나누면 공식 선택 단계에서 생기는 불필요한 오류가 줄어듭니다.

실전용 요약을 한 줄씩 다시 적으면 다음과 같습니다. sin은 cos로 바뀌고, cos는 음의 sin으로 바뀝니다. tan은 sec의 제곱이 되고, cot은 음의 csc의 제곱이 됩니다. sec은 sec과 tan의 곱으로, csc는 음의 csc와 cot의 곱으로 변합니다. 이 문장을 적은 다음 각 공식에 u를 넣어 보고 마지막에 u'을 붙이는 훈련을 하세요. 이후에는 항등식 sec²u=1+tan²u와 csc²u=1+cot²u를 보조 도구로 사용할 수 있습니다. 공식이 기억나지 않는 순간에는 정의를 분수로 바꾸고 미분법으로 되돌아가면 됩니다. 그 복구 경로까지 익혀 두면 삼각함수 미분은 암기 부담이 큰 단원이 아니라, 서로 연결된 규칙을 차분히 적용하는 단원이 됩니다.

예제 하나를 처음부터 끝까지 점검해 보겠습니다. y=x²sec(3x)라면 곱의 미분법을 먼저 적용해 y'=2xsec(3x)+x²·{sec(3x)tan(3x)·3}이 됩니다. 여기서는 x²를 미분한 항과 sec(3x)를 미분한 항을 빠뜨리지 않아야 합니다. 두 번째 항에는 sec의 공식과 안쪽 3x의 미분값이 모두 들어갑니다. 답을 2xsec(3x)+3x²sec(3x)tan(3x)로 정리한 뒤, 모든 항에 sec이 있어 묶을 수 있는지도 볼 수 있습니다. 이 예제는 기본공식 하나가 곱의 미분과 합성함수 미분 안에서 어떻게 작동하는지 보여 줍니다. 어려운 문제일수록 규칙을 동시에 암산하기보다, 적용한 규칙을 각 항 옆에 작게 표시하는 편이 더 정확합니다.

또 다른 예제는 y=sin x/cos²x입니다. 이 식을 곧바로 몫의 미분으로 풀 수 있지만, sin x·sec²x로 바꾼 뒤 곱의 미분을 써도 됩니다. 어느 방법을 택하든 정의역은 cos x가 0이 아닌 곳입니다. 계산 방식이 여러 개일 때에는 답의 모양이 달라 보여도 항등식으로 같은지 비교할 수 있습니다. 예를 들어 sec²x와 1+tan²x가 서로 바뀌어 있어도 같은 구간에서는 동등합니다. 검산 때는 특정한 안전한 값, 예를 들어 x=0이나 x=π/4를 넣어 부호와 크기가 자연스러운지 보는 방법도 좋습니다. 단, 분모가 0이 되는 값은 검산용으로 선택하면 안 됩니다. 작은 대입 검산은 복잡한 전개에서 놓친 음수를 발견하는 데 특히 효과적입니다.

정리 노트의 마지막에는 ‘무엇을 보고 공식을 고를지’를 적어 두면 좋습니다. 함수가 sin 또는 cos로 시작하면 기본공식을 고르고, 분수처럼 보이면 tan·cot·sec·csc의 정의를 생각합니다. 괄호 안에 다른 식이 있으면 합성함수 미분을 적용하며, 두 함수가 곱해져 있으면 곱의 미분법을 준비합니다. 마지막으로 정의되지 않는 점과 음수의 위치를 점검합니다. 이 네 단계는 각 공식의 이름을 순서대로 외우는 것보다 실제 풀이 흐름에 가깝습니다. 반복해서 풀다 보면 sec과 csc의 짝, tan과 cot의 대비, sin과 cos의 순환이 각각 독립된 정보가 아니라 하나의 체계로 보이게 됩니다.

시간이 부족한 시험장에서는 완벽한 유도보다 빠른 확인표가 필요합니다. sin의 결과가 cos인지, cos의 결과에 마이너스가 있는지부터 확인합니다. tan과 cot에서는 제곱 기호와 부호를 한 번 더 보고, sec과 csc에서는 곱하는 상대 함수가 tan인지 cot인지 살핍니다. 그 다음 괄호 안의 식을 그대로 유지했는지와 그 식의 미분값을 곱했는지를 확인합니다. 마지막으로 원래 식에 있던 상수와 곱의 미분에서 나온 다른 항이 빠지지 않았는지 검토합니다. 이 짧은 순서는 계산을 다시 하는 대신 오류가 잘 생기는 자리를 겨냥합니다. 풀이를 제출하기 전 십 초만 써도 부호 하나, 계수 하나, 정의역 하나에서 발생하는 감점을 상당히 막을 수 있습니다. 익숙해지면 이 점검은 별도의 암기가 아니라 자연스러운 읽기 과정이 됩니다.

개념을 오래 유지하려면 하루 뒤와 일주일 뒤에 짧은 복습을 다시 넣어 보세요. 첫 복습에서는 공식을 보지 않고 여섯 줄을 적은 다음, 각 줄의 정의를 분수 형태로 덧붙입니다. 두 번째 복습에서는 합성함수와 곱의 미분이 섞인 문제를 두세 개 풀고, 오답을 공식 오류와 계산 오류로 구분합니다. 공식 오류라면 단위원이나 정의에서 다시 출발하고, 계산 오류라면 괄호와 계수 표시 방식을 고칩니다. 이런 방식은 단순 반복보다 시간이 조금 더 들지만, 새로운 식을 만나도 공식을 적용할 수 있게 만듭니다. 삼각함수 미분의 목표는 공식집을 암송하는 데 있지 않고, 변화율의 구조를 읽어 적절한 규칙을 선택하는 데 있습니다. 충분한 연습 뒤에는 sin, cos, tan, csc, sec, cot이 각각 흩어진 이름이 아니라 서로 기대어 있는 함수 가족처럼 느껴질 것입니다.