삼각함수 미분공식 총정리: sin·cos·tan·csc·sec·cot 한 번에 외우기
삼각함수 미분공식은 부호·제곱·안쪽 미분만 정확히 확인하면 훨씬 안정적으로 풀 수 있습니다. 여섯 공식과 예제를 함께 정리합니다.
1. 삼각함수 미분에서 먼저 외울 세 줄
삼각함수 미분은 공식이 많아 보이지만, 시험과 문제 풀이에서 가장 먼저 꺼내는 것은 sin, cos, tan의 세 가지입니다. x가 라디안일 때 sin x를 미분하면 cos x, cos x를 미분하면 −sin x, tan x를 미분하면 sec²x가 됩니다. 여기서 가장 자주 틀리는 곳은 cos의 앞 마이너스와 tan의 제곱입니다. 함수 이름만 바꿔 적지 말고 결과의 부호와 제곱까지 한 덩어리로 기억해야 합니다. 특히 tan의 미분 결과는 sec x tan x가 아니라 sec²x입니다. 반대로 sec의 미분이 sec x tan x라는 점과 섞이면 실수가 쉽게 납니다. 계산을 시작하기 전에 문제의 각도가 도 단위인지, 라디안으로 놓인 미적분 문제인지도 확인하세요. 표준 미분공식은 라디안을 전제로 합니다.
2. 왜 cos x를 미분하면 마이너스가 붙을까
단위원에서 sin과 cos는 서로 위치가 한 칸씩 어긋난 좌표 변화로 볼 수 있습니다. sin x는 증가하는 구간에서 기울기가 양수였다가 감소하는 구간에서 음수가 되고, 그 변화율이 cos x로 나타납니다. cos x는 x가 조금 커질 때 처음에는 줄어드는 방향이라 변화율의 출발점이 음수이고, 그것이 −sin x로 정리됩니다. 이 설명을 완벽히 유도하지 못해도 괜찮지만, cos를 미분한 결과에 마이너스가 반드시 붙는 이유를 단위원의 감소 방향과 연결해 두면 암기가 견고해집니다. sin과 cos의 부호를 헷갈릴 때는 sin→cos는 그대로, cos→sin은 마이너스라는 짧은 리듬으로 되뇌어 보세요.
3. tan x의 미분은 왜 sec²x인가
tan x는 sin x / cos x이므로 몫의 미분법으로도 확인할 수 있습니다. 분자 sin x를 미분하면 cos x, 분모 cos x를 미분하면 −sin x입니다. 이를 몫의 미분식에 넣으면 cos²x와 sin²x가 더해지고, sin²x+cos²x=1이 되어 1/cos²x가 남습니다. 1/cos²x는 sec²x입니다. 이 흐름을 한 번 직접 전개해 보면 tan의 결과에 왜 제곱이 들어가는지 납득할 수 있습니다. tan x의 값이 정의되지 않는 cos x=0 근처에서는 기울기도 매우 커질 수 있다는 그림을 떠올리면 sec²x라는 결과가 더 자연스럽습니다. 공식만 외울 때도 tan→sec²를 한 묶음으로 적으세요.
4. sec와 csc는 역수 관계를 먼저 확인
sec x는 1/cos x, csc x는 1/sin x입니다. 역수 함수의 미분에서는 원래 함수의 미분 부호가 그대로 영향을 줍니다. 그래서 sec x는 sec x tan x가 되고, csc x는 −csc x cot x가 됩니다. sec에는 마이너스가 없고 csc에는 마이너스가 있다는 대비가 핵심입니다. 두 식을 각각 분수 형태에서 유도해 보면 sec x=cos⁻¹x의 미분에서 cos의 미분값 −sin x가 분모의 마이너스와 만나 양수가 되는 반면, csc x=sin⁻¹x에서는 sin의 미분값 cos x 때문에 최종 마이너스가 남습니다. ‘csc에는 마이너스’라는 경고 문구를 따로 표시해 두면 시험 직전에도 유용합니다.
5. cot x는 csc²x 앞의 마이너스
cot x는 cos x / sin x입니다. 몫의 미분을 적용하면 분자 쪽에서 −sin x가 나오고, 정리하면 −1/sin²x가 됩니다. 즉 −csc²x입니다. tan의 미분이 +sec²x라면 cot의 미분은 −csc²x라는 짝을 이룹니다. tan과 cot를 서로 역수처럼 느끼더라도 미분 결과를 단순히 서로 바꾸면 안 됩니다. tan은 cos가 0인 지점에서, cot는 sin이 0인 지점에서 정의되지 않는다는 차이도 함께 확인해야 합니다. 문제에서 cot이 보이면 제곱 기호뿐 아니라 맨 앞의 음수까지 먼저 적는 습관을 들이세요. 부호를 나중에 붙이려 하면 대입 계산 중에 빠뜨리기 쉽습니다.
6. 합성함수에서는 안쪽 미분을 곱한다
sin(3x), cos(x²), tan(2x−1)처럼 괄호 안이 단순 x가 아니면 체인룰을 적용합니다. 바깥 함수의 미분공식을 쓴 다음, 안쪽 식을 미분한 값을 곱합니다. 따라서 d/dx sin(3x)=cos(3x)×3=3cos(3x)입니다. d/dx cos(x²)=−sin(x²)×2x이고, d/dx tan(2x−1)=sec²(2x−1)×2입니다. 가장 흔한 오류는 안쪽 미분을 빼먹거나, 바깥 함수의 괄호 안을 x로 바꾸어 버리는 것입니다. 괄호는 끝까지 유지하고 마지막에 곱셈을 정리하세요. 안쪽이 복잡할수록 ‘바깥 미분 → 안쪽 미분 곱하기’ 순서를 종이에 두 줄로 분리해 쓰면 안전합니다.
7. 곱과 몫이 섞인 문제의 점검 순서
x sin x처럼 x와 삼각함수가 곱해진 식에는 곱의 미분법을 씁니다. d/dx[x sin x]=sin x+x cos x입니다. 각 항 하나만 미분하는 실수를 막으려면 앞 미분 뒤 그대로, 앞 그대로 뒤 미분이라는 순서를 말로 확인하세요. (sin x)/(x)처럼 분수라면 몫의 미분법 또는 x⁻¹을 곱한 꼴로 바꾸는 방법을 선택할 수 있습니다. 어떤 방법을 쓰든 삼각함수 부분의 기본 미분공식과 x 부분의 미분을 분리해서 처리해야 합니다. 식을 급하게 한 줄로 전개하면 부호, 괄호, 제곱이 동시에 흔들리므로 중간 줄을 아끼지 않는 편이 결과적으로 빠릅니다.
8. 라디안 여부와 정의되지 않는 지점
교과서와 미적분의 표준 공식은 x가 라디안일 때 성립합니다. 만약 sin(30°)처럼 도 단위를 변수로 미분하는 특별한 상황이라면 각도 변환에서 상수 계수가 추가됩니다. 일반적인 수학 문제에서 x라고 쓰였다면 보통 라디안으로 이해하지만, 물리나 공학 단위가 함께 나오는 문제에서는 확인하는 것이 좋습니다. 또 tan과 sec는 cos x=0에서, cot과 csc는 sin x=0에서 정의되지 않습니다. 미분 결과를 구하는 것과 함수가 실제로 정의되는 범위를 확인하는 것은 별개입니다. 극값이나 그래프 문제라면 분모가 0이 되는 점을 답 후보에서 제외하는지까지 점검하세요.
9. 암기 카드 대신 유도 한 번, 복습 여러 번
공식 여섯 개를 무작정 외우기보다 sin·cos·tan을 먼저 확실히 하고 나머지를 역수 관계로 연결하면 부담이 줄어듭니다. sin→cos, cos→−sin, tan→sec², sec→sec tan, csc→−csc cot, cot→−csc²의 순서로 한 줄에 적어 보세요. 다음에는 눈을 가리고 결과만 말해 보고, 틀린 항목만 다시 유도합니다. tan과 cot의 제곱, csc와 cot의 마이너스가 특히 자주 틀리는 지점입니다. 풀이를 마친 뒤에는 함수 이름, 부호, 제곱, 안쪽 미분의 네 칸을 체크하면 작은 실수를 대부분 잡아낼 수 있습니다.
10. 예제로 최종 확인하기
예를 들어 y=2sin x−cos x+tan x라면 y′=2cos x+sin x+sec²x입니다. 두 번째 항은 −cos x를 미분했으므로 −(−sin x)=+sin x가 된다는 점을 천천히 확인하세요. y=sec(4x)+csc x라면 y′=4sec(4x)tan(4x)−csc x cot x입니다. 첫 항에는 안쪽 4가 곱해지고, 둘째 항에는 csc의 마이너스가 유지됩니다. y=x²cot x라면 곱의 미분으로 2x cot x−x²csc²x가 됩니다. 서로 다른 유형의 예제를 한 문제씩 풀어 보면 공식 암기와 체인룰, 곱의 미분이 어디에서 만나는지 분명해집니다.
11. 공식 표를 실제 풀이에 옮기는 방법
공식표를 볼 때는 왼쪽에 원래 함수, 오른쪽에 미분 결과를 세로로 쓴 뒤 답안을 쓸 때 그대로 베끼지 말고 문제의 구조를 표시합니다. 예를 들어 sin(5x−2)가 보이면 sin이라는 바깥 함수, 5x−2라는 안쪽 함수에 각각 밑줄을 긋습니다. 바깥 미분 결과 cos(5x−2)를 먼저 쓰고, 안쪽의 변화율 5를 곱합니다. 이때 cos의 괄호 안을 5x−2로 유지하는 것이 중요합니다. sec(x³)도 같은 방식으로 sec(x³)tan(x³) 뒤에 3x²를 곱합니다. 공식의 오른쪽 항만 기억하고 괄호를 생략하면 x와 안쪽식이 섞이는 오류가 생깁니다. 풀이 마지막에는 상수 계수가 빠지지 않았는지, 제곱이 필요한 자리에 붙었는지, 음수가 필요한 항 앞에 남았는지 확인합니다. 이 세 번의 점검은 복잡한 식일수록 큰 효과가 있습니다.
12. 여러 삼각함수가 섞인 식
y=sin x cos x처럼 삼각함수끼리 곱해진 식도 기본 공식 두 개와 곱의 미분법으로 풀 수 있습니다. 결과는 cos x cos x+sin x(−sin x), 즉 cos²x−sin²x입니다. 이 식은 이중각 공식과도 이어지지만, 처음에는 변형을 서두르지 말고 곱의 미분 결과를 정확히 만드는 데 집중하세요. y=tan x+cot x에서는 각각을 따로 미분해 sec²x−csc²x를 얻습니다. 항이 더해져 있어도 cot의 마이너스를 잊으면 전체 부호가 달라집니다. y=sin x/cos x는 tan x로 단순화한 뒤 sec²x라고 해도 되고, 몫의 미분법으로 풀어도 됩니다. 단순화가 가능한지 먼저 보는 습관은 계산량을 줄여 주지만, 정의역이 달라지는 변형을 하는 경우에는 원래 분모가 0이 되는 지점을 잊지 않아야 합니다.
13. 자주 틀리는 네 가지 패턴
첫째, cos x를 미분해 sin x라고만 쓰는 실수입니다. cos 앞에는 반드시 음수가 붙습니다. 둘째, tan x의 결과를 sec x tan x로 쓰는 실수입니다. 그것은 sec x의 미분이고 tan x는 sec²x입니다. 셋째, csc x의 마이너스를 빼먹는 실수입니다. csc→−csc cot으로 묶어 소리 내어 외우면 도움이 됩니다. 넷째, sin(2x)나 cos(x²)에서 안쪽 미분을 빠뜨리는 실수입니다. 기본 공식은 함수 모양을 바꾸는 첫 단계일 뿐이고, 합성함수에서는 안쪽 변화율이 반드시 추가됩니다. 오답 노트에는 단순히 정답만 옮기기보다 어느 패턴에서 틀렸는지 표시해 두세요. 다음 문제에서 같은 경고등을 켤 수 있습니다.
14. 10분 복습 루틴
첫 2분에는 여섯 공식을 빈 종이에 보지 않고 씁니다. 다음 2분에는 sin, cos, tan만 남기고 sec, csc, cot을 역수 관계로 유도해 봅니다. 이어서 3분에는 sin(4x), cos(x²), tan(3x+1)을 각각 한 문제씩 미분합니다. 마지막 3분에는 x sec x, csc x/x처럼 곱과 몫이 들어간 식을 풀고 부호와 체인룰만 채점합니다. 이 루틴은 긴 문제를 많이 푸는 것보다 공식의 연결을 반복해서 확인하는 데 목적이 있습니다. 막히는 공식이 있으면 암기 문구보다 분수 표현으로 돌아가 유도하는 편이 오래 기억됩니다. sec=1/cos, csc=1/sin, cot=cos/sin이라는 출발점이 보이면 결과가 낯설어도 복구할 수 있습니다.
15. 제출 전 최종 체크리스트
답을 제출하기 전에는 네 가지를 순서대로 봅니다. 첫째, cos·csc·cot에서 마이너스 부호가 빠지지 않았는지 확인합니다. 둘째, tan은 sec², cot은 −csc²처럼 제곱이 필요한 항을 확인합니다. 셋째, sec은 sec tan, csc는 −csc cot이라는 서로 다른 짝을 혼동하지 않았는지 봅니다. 넷째, 괄호 안이 x가 아닌 경우에는 안쪽 함수의 미분을 반드시 곱했는지 확인합니다. 이 체크리스트는 한 줄짜리 계산에도 적용할 수 있고, 곱·몫·합성함수가 섞인 긴 문제에도 그대로 쓸 수 있습니다. 미분 결과가 너무 단순해 보이거나 상수 계수가 사라진 것 같으면 중간 줄로 돌아가 바깥 함수와 안쪽 함수를 다시 표시하세요. 정확한 공식 적용은 빠른 암기보다 검산 습관에서 완성됩니다.
16. 한 줄 요약과 다음 단계
삼각함수 미분은 sin→cos, cos→−sin, tan→sec²를 중심으로 잡고, sec→sec tan, csc→−csc cot, cot→−csc²를 이어 붙이면 됩니다. 단순한 x가 아니라면 안쪽 미분을 곱하고, 곱이나 몫이 있으면 해당 미분법을 먼저 선택하세요. 처음에는 공식표를 보며 풀어도 좋지만, 풀이 끝에 부호·제곱·괄호·안쪽 미분을 점검하는 습관을 반복하면 공식은 자연스럽게 기억됩니다. 한 번의 암기보다 짧은 검산을 여러 번 하는 편이 실수를 훨씬 잘 줄여 줍니다.
17. 계산 중 막혔을 때
공식이 생각나지 않으면 sin과 cos의 기본 공식부터 다시 쓰고, tan·cot은 몫, sec·csc는 역수라는 출발점으로 돌아가세요. 모든 공식을 즉시 떠올리지 못해도 관계를 이용해 복구할 수 있습니다. 정답을 확인한 뒤에는 결과만 보지 말고 어느 단계에서 부호와 제곱이 생겼는지 표시해 두면 다음 문제의 속도와 정확도가 함께 좋아집니다. 천천히 써도 검산까지 끝내는 풀이가 가장 좋은 풀이입니다.
자주 묻는 질문
삼각함수 미분은 도 단위에서도 그대로 쓰나요?
표준 공식은 라디안을 전제로 합니다. 변수의 단위가 도라면 라디안 변환에 따른 상수 계수를 별도로 고려해야 합니다.
tan x의 미분을 sec x tan x로 써도 되나요?
아닙니다. tan x의 미분은 sec²x입니다. sec x tan x는 sec x의 미분공식입니다.
csc x와 cot x에 모두 마이너스가 붙나요?
네. csc x의 미분은 −csc x cot x, cot x의 미분은 −csc²x입니다.