삼각함수 그래프 주기 공식 (사인, 코사인, 탄젠트, sin, cos, tan)

마무리 확인 문제

스스로 확인해 볼 문제를 남겨 두겠습니다. y=sin(10x)의 주기는 π/5이고, y=cos(x/10)의 주기는 20π입니다. y=tan(10x)의 주기는 π/10이며, y=tan(x/10)의 주기는 10π입니다. 네 식을 나란히 적어 보면 같은 계수라도 함수 종류가 달라지면 기본 주기가 달라지고, 같은 함수라도 계수가 역수로 바뀌면 가로 폭이 크게 달라지는 사실이 보입니다. 답을 구한 뒤에는 0부터 2π까지 몇 번 반복되는지 떠올려 보세요. sin(10x)는 열 번, cos(x/10)은 한 번도 완성하지 못하고 일부만 진행합니다. 이런 그림 검산이 가장 믿을 만한 마지막 안전장치입니다.

한 장으로 정리하는 핵심 결론

삼각함수의 주기는 가로 방향 반복의 길이입니다. 사인과 코사인은 기본 주기가 2π이므로 sin(bx), cos(bx)의 주기는 2π/|b|입니다. 탄젠트는 기본 주기가 π이므로 tan(bx)의 주기는 π/|b|입니다. 절댓값은 음수 계수에도 길이가 양수로 유지되도록 해 줍니다. 함수 밖의 계수는 진폭, 괄호 안의 상수는 평행이동에 관한 정보이고, x의 계수만이 주기를 직접 바꿉니다. 그래프에서는 사인과 코사인의 같은 꼭대기 사이 거리, 탄젠트의 이웃한 점근선 사이 거리를 재면 됩니다. 계수가 커질수록 반복은 촘촘해지고 주기는 짧아집니다. 이 다섯 문장을 기준으로 식을 정리하고 그래프와 대조하면 대부분의 주기 문제를 빠르고 정확하게 풀 수 있습니다.

풀이를 마친 뒤에는 답을 수치 감각으로 검산하세요. b=1이면 기본 주기여야 하고, |b|가 2이면 기본 주기의 절반이어야 하며, |b|가 1/2이면 기본 주기의 두 배여야 합니다. sin과 cos에서는 2π를, tan에서는 π를 출발점으로 삼는 순서를 고정하면 혼동이 줄어듭니다. 특히 탄젠트의 점근선과 사인·코사인의 극값을 구별해 읽는 습관이 중요합니다. 공식은 짧지만 그래프의 반복, 압축, 확대, 이동을 모두 연결해 주는 중심 도구입니다.

빠른 계산 연습과 오답 점검

짧은 계산을 반복해 보면 공식이 자연스럽게 자리 잡습니다. sin(8x)의 주기는 π/4, cos(6x)의 주기는 π/3, tan(6x)의 주기는 π/6입니다. sin(-x/2)의 주기는 4π, cos(-x/2)의 주기도 4π, tan(-x/2)의 주기는 2π입니다. 여기에서 음수는 길이를 바꾸지 않고, 함수 종류가 분자만 바꾼다는 사실을 확인할 수 있습니다. y=3sin(4x)-2의 주기는 π/2이고 y=-2tan(4x)+7의 주기는 π/4입니다. 앞의 수와 뒤의 수를 일부러 지워도 x 앞 계수 4만 남으면 각각의 주기를 즉시 판단할 수 있어야 합니다. 오답은 대개 두 가지에서 나옵니다. 첫째는 2π를 b로 나누는 대신 b를 곱하는 실수입니다. 둘째는 탄젠트에도 2π를 쓰는 실수입니다. 계산 직후 b가 커졌는데 주기가 커졌다면 첫 번째 실수를, tan인데 sin과 같은 분자를 썼다면 두 번째 실수를 의심하세요.

표현이 달라져도 핵심은 변하지 않습니다. y=sin(2(x-1))에서는 괄호 밖의 2가 아니라 전개했을 때 x에 곱해지는 2가 b입니다. y=cos((x+3)/2)는 cos((1/2)x+3/2)이므로 b는 1/2이고 주기는 4π입니다. tan(πx/2)는 b가 π/2이므로 주기는 2입니다. 이런 형태를 만나면 먼저 x의 계수만 표시하고 다른 항은 잠시 가려 보세요. 이후 함수 이름에 맞는 기본 주기를 적고 절댓값으로 나누면 됩니다. 정답을 확인한 다음에는 그래프가 압축되었는지 확대되었는지 한 문장으로 말해 보세요. 이 마지막 확인은 계산기 없이도 주기의 크기를 예측하게 해 주며, 복잡한 식에서도 안정적인 풀이 순서를 만들어 줍니다.

공식 암기에서 그래프 해석으로 넘어가기

주기 문제를 안정적으로 풀려면 답만 쓰고 끝내지 말고 그 답이 그래프에서 어떤 간격인지 말로 설명해 보는 것이 좋습니다. y=sin(3x)의 주기가 2π/3이라는 결과를 얻었다면, 0부터 2π까지 세 개의 같은 물결이 들어간다고 이어서 말할 수 있어야 합니다. y=cos(x/4)의 주기가 8π라는 결과를 얻었다면, 기본 코사인 그래프가 x축 방향으로 네 배 늘어나 한 번의 반복이 매우 넓어졌다고 설명할 수 있어야 합니다. 수식 계산과 그림 해석은 서로 다른 풀이가 아니라 같은 사실을 두 언어로 표현한 것입니다. 시험에서 그래프가 일부만 주어져도 이러한 연결이 있으면 빈 눈금을 채우거나 식의 계수를 추정할 수 있습니다. 예를 들어 꼭대기 사이 거리가 π/3인 사인형 그래프라면 2π/|b|=π/3을 풀어 |b|=6을 얻습니다. 점근선 사이 거리가 π/4인 탄젠트형 그래프라면 π/|b|=π/4이므로 |b|=4입니다. 부호는 주기만으로 결정할 수 없지만, 그래프가 어느 방향으로 시작하는지를 보면 추가로 판단할 수 있습니다.

마지막 점검에서는 단위와 범위를 확인합니다. 라디안으로 표시된 주기는 π를 포함하는 형태가 자연스럽고, 도 단위를 쓰는 문제라면 사인과 코사인의 기본 주기는 360도, 탄젠트의 기본 주기는 180도로 바뀝니다. 그러나 계수에 대한 반비례 관계는 그대로입니다. sin(2x)의 도 단위 주기는 180도이고, tan(2x)의 도 단위 주기는 90도입니다. 같은 교과서 안에서도 라디안과 도가 섞인 예제가 나올 수 있으므로 축 표기를 먼저 읽는 습관이 필요합니다. 또한 문제의 정의역이 제한되어 있다면 주기 자체와 구간 안에서 보이는 반복 횟수를 구별합니다. 주기가 2π라고 해서 주어진 짧은 구간에 완전한 한 파동이 반드시 보이는 것은 아닙니다. 반대로 주기가 π/3이라면 작은 구간에도 여러 번의 반복이 보일 수 있습니다. 이 차이를 확인하는 습관이 그래프 개수, 극값 개수, x절편 개수 문제의 기반이 됩니다.

주기 공식을 깊게 이해하는 추가 연습

주기 공식을 실제로 익히려면 식을 본 뒤 곧바로 그래프의 가로 폭을 상상하는 연습이 필요합니다. y=sin(7x)라는 식에서는 0부터 2π까지 일곱 번의 완전한 물결이 들어갑니다. 따라서 한 물결의 길이는 2π를 일곱으로 나눈 2π/7입니다. y=cos(7x)도 시작 모양만 다를 뿐 같은 간격으로 일곱 번 반복합니다. 반대로 y=sin(x/7)는 기본 그래프를 일곱 배로 가로로 늘인 모습입니다. 이때 주기는 14π가 됩니다. 계수가 분수인 문제는 천천히 나눗셈으로 바꾸어 보는 것이 좋습니다. x/7은 (1/7)x이고, 2π를 1/7로 나누면 14π라는 결론이 나옵니다. 수식의 계수와 그래프의 폭은 반비례한다는 말은 단순한 구호가 아닙니다. 계수가 두 배면 같은 변화가 절반의 x 이동 안에 끝나고, 계수가 절반이면 같은 변화에 두 배의 x 이동이 필요합니다. 이 관계를 이해하면 암기한 공식을 잊어도 직접 유도할 수 있습니다. 기본 사인 그래프의 한 바퀴를 bx가 2π만큼 변하는 순간으로 생각하면 됩니다. x가 T만큼 변할 때 bT=2π가 되어 T=2π/b가 나오며, 길이이므로 절댓값을 취합니다. 코사인도 같은 이유로 같은 공식이 성립합니다.

평행이동을 포함한 식에서는 묶는 과정이 판단을 쉽게 합니다. y=sin(4x-2π)는 sin{4(x-π/2)}로 쓸 수 있습니다. 여기에서 π/2는 가로 이동 정보이고 4는 반복 속도 정보입니다. 그래서 주기는 2π/4=π/2입니다. y=cos(-3x+6)도 cos{-3(x-2)}로 정리하면 왼쪽의 -3이 계수임을 알 수 있고 주기는 2π/3입니다. 삼각함수의 짝홀 성질 때문에 어떤 식은 더 단순해 보일 수 있지만 주기를 구할 때는 굳이 식을 변형할 필요가 없습니다. 괄호 안 x의 계수만 정확히 읽으면 됩니다. y=5sin(2x)+1, y=-3cos(2x-4), y=sin(2x+π/8)처럼 생김새가 서로 달라도 모두 주기는 π입니다. 앞의 5와 -3은 진폭을, 마지막 +1은 세로 이동을, 괄호 안 상수는 위상 이동을 나타냅니다. 반복 간격을 바꾸는 주인공은 2 하나뿐입니다. 이 구분은 그래프의 최댓값과 최솟값을 묻는 문제에서도 도움이 됩니다. 진폭, 중심선, 주기를 따로 표시하면 각 정보가 섞이지 않습니다.

탄젠트는 사인과 코사인의 공식보다 한 단계 더 주의해서 살펴볼 만합니다. tan x는 x에 π를 더해도 값이 같아집니다. 예를 들어 tan(x+π)=tan x라는 성질이 있으므로 기본 주기가 π입니다. 반면 sin(x+π)는 -sin x가 되어 같은 함수값으로 돌아오지 않으므로 2π가 필요합니다. 이 한 줄의 차이가 두 공식의 분자를 가릅니다. tan(5x)의 경우에는 5x가 π만큼 변하면 같은 모양이 되므로 x는 π/5만큼 변하면 됩니다. tan(-5x)는 좌우가 뒤집혀도 점근선 간격이 π/5이므로 주기는 여전히 π/5입니다. y=tan(x/5)는 다섯 배 느리게 진행하므로 주기가 5π입니다. 점근선을 이용한 검산도 가능합니다. tan(5x)의 연속된 점근선은 π/5 간격이고, tan(x/5)의 연속된 점근선은 5π 간격입니다. 그래프를 그릴 때 점근선 간격을 잘못 잡으면 곡선의 수가 맞지 않으므로, 공식 계산 뒤 먼저 점근선을 배치하는 절차가 실수를 줄입니다.

응용 문제에서는 주어진 구간에 그래프가 몇 번 반복되는지를 함께 묻는 경우가 많습니다. 구간의 길이를 주기로 나누면 완전한 반복 횟수를 얻습니다. 예를 들어 0≤x≤4π에서 y=sin(2x)의 주기는 π이므로 완전한 반복은 네 번입니다. 0≤x≤6π에서 y=cos(x/3)의 주기는 6π이므로 정확히 한 번 반복합니다. y=tan(2x)는 같은 0≤x≤4π 구간에서 주기가 π/2이므로 여덟 개의 반복 구간을 가집니다. 다만 탄젠트에는 점근선에서 끊기는 점이 있으므로 정의역 끝점과 점근선을 함께 확인해야 합니다. 반복 횟수 계산이 자연스럽게 되면 주기 공식이 단순히 빈칸 채우기용 공식이 아니라 그래프 전체를 읽는 도구라는 점을 알게 됩니다. 실전에서는 답을 구한 뒤 기준 구간 길이와 나누어 보세요. 정수에 가까운 반복 횟수가 그래프의 물결 수 또는 탄젠트 가지 수와 일치하는지 확인하면 계산 오류를 발견할 수 있습니다.

주기란 그래프가 다시 같은 모양이 되는 가장 짧은 가로 길이

삼각함수 그래프에서 주기는 한 번 나타난 모양이 오른쪽으로 얼마나 이동했을 때 처음과 완전히 겹치는지를 뜻합니다. 그래프의 높이가 커지거나 아래위로 움직이는 변화와는 구별해야 합니다. 주기는 오직 x축 방향의 반복 간격에 관한 말입니다. 사인 그래프를 보면 0에서 출발해 꼭대기와 바닥을 지나 다시 같은 방향으로 0을 통과하는 데 2π만큼 이동합니다. 이 2π가 sin x의 기본 주기입니다. 코사인 그래프도 시작점은 다르지만 같은 모양이 2π마다 되풀이되므로 기본 주기는 2π입니다. 문제에서 주기를 묻는다면 꼭대기에서 다음 꼭대기까지, 또는 같은 방향의 x절편에서 다음 같은 방향의 x절편까지의 거리를 찾으면 됩니다.

주기를 읽을 때는 비슷해 보이는 두 점을 고르는 실수가 흔합니다. 예를 들어 사인 그래프의 꼭대기와 다음 바닥은 모양이 반대이므로 그 거리는 주기의 절반입니다. 0을 지나는 점도 위로 향하며 지나는지, 아래로 향하며 지나는지를 함께 보아야 합니다. 같은 높이만으로는 충분하지 않습니다. 그래프의 위치와 진행 방향까지 같아지는 가장 짧은 간격이 주기입니다. 이 원칙을 기억하면 식을 외우지 못한 순간에도 그림에서 답을 확인할 수 있습니다. 특히 시험지의 눈금이 π/2 또는 π/4로 표시되어 있을 때에는 반복 한 칸의 폭을 끝까지 세어 보고, 그것이 기본 그래프와 비교해 몇 배인지 판단하는 습관이 유용합니다.

sin(bx), cos(bx)의 주기 공식은 2π를 |b|로 나눈 값

사인과 코사인의 기본형은 각각 y=sin x, y=cos x이고 둘 다 주기가 2π입니다. x 앞에 b가 붙어 y=sin(bx), y=cos(bx)가 되면 공식은 T=2π/|b|입니다. 여기서 절댓값은 매우 중요합니다. b가 음수이면 그래프가 좌우로 뒤집혀 보일 수 있지만 반복 간격의 길이는 음수가 될 수 없기 때문입니다. b=3이면 주기는 2π/3이고, b=1/2이면 주기는 2π÷1/2=4π입니다. 숫자가 커질수록 분모가 커져 주기는 짧아지고, 0과 1 사이의 분수일수록 그래프는 가로로 늘어나 주기가 길어집니다. 즉 b는 세로 높이가 아니라 가로 압축과 가로 확대를 결정하는 계수입니다.

공식을 적용할 때 괄호를 먼저 확인해야 합니다. y=sin(2x)에서는 b=2이므로 주기가 π이지만, y=2sin x에서는 2가 함수 밖에 있으므로 진폭만 2배가 되고 주기는 여전히 2π입니다. y=sin(x/3)도 x 앞의 계수는 1/3이므로 주기는 6π입니다. 분수 계수는 나누기와 곱하기가 바뀌는 것처럼 느껴져 실수가 많습니다. 가장 안전한 방법은 x/3을 (1/3)x로 다시 쓰고 T=2π/(1/3)으로 계산하는 것입니다. 또한 sin(-4x)는 T=2π/4=π/2입니다. 부호를 지운 뒤 절댓값만 넣어 계산하면 빠르고 안정적입니다.

그래프에서 b값과 반복 횟수를 연결하는 방법

같은 x축 구간을 놓고 비교하면 b값의 역할이 더 선명해집니다. 0부터 2π까지에서 y=sin x는 정확히 한 번의 완전한 물결을 만듭니다. y=sin 2x는 같은 구간에서 두 번 반복하고, y=sin 4x는 네 번 반복합니다. 따라서 정수 b=n인 경우 0부터 2π까지의 완전한 반복 횟수는 |n|개입니다. 반대로 y=sin(x/2)는 0부터 2π까지 반 바퀴만 진행하므로 한 번 반복하려면 4π까지 가야 합니다. 그래프가 촘촘해졌다면 |b|가 1보다 크고, 느슨해졌다면 |b|가 1보다 작다고 판단할 수 있습니다. 이 직관은 선택지 검산에 특히 강력합니다.

그래프에서 주기를 직접 구하는 절차도 일정합니다. 먼저 눈에 띄는 꼭대기 하나를 잡고 다음 꼭대기까지의 x좌표 차이를 구합니다. 꼭대기가 잘리지 않았으면 이 거리가 곧 주기입니다. 또는 위로 지나가는 x절편 두 개의 차이를 이용해도 됩니다. 사인과 코사인의 경우 꼭대기에서 바닥까지는 반 주기, 0에서 다음 x절편까지는 보통 사분의 일 주기라는 점도 보조 단서가 됩니다. 단, 평행이동이 있어도 주기 자체는 변하지 않습니다. y=sin(2x-π)처럼 괄호 안에 상수가 더해져도 b=2만 보면 되며, 그래프가 오른쪽이나 왼쪽으로 옮겨진 사실이 반복 간격을 바꾸지는 않습니다.

tan(bx)는 왜 π/|b|를 쓰는가

탄젠트는 사인과 코사인의 비로 정의되지만 그래프의 반복 방식은 다릅니다. y=tan x는 π만큼 이동하면 같은 모양이 다시 나타나므로 기본 주기가 π입니다. 따라서 y=tan(bx)의 주기는 T=π/|b|입니다. 사인과 코사인의 2π/|b|를 그대로 쓰면 탄젠트에서 두 배 큰 답을 내게 됩니다. tan 2x의 주기는 π/2이고, tan(x/3)의 주기는 3π입니다. 공식의 분자는 기본형의 주기에서 왔다는 사실을 이해하면 외우기 쉽습니다. sin과 cos는 기본 반복이 2π, tan은 기본 반복이 π라는 차이만 먼저 정리하면 됩니다.

탄젠트 그래프는 점근선 때문에 주기를 읽을 때 더 조심해야 합니다. 그래프가 끊기는 세로선은 정의되지 않는 곳이고, 인접한 점근선 사이의 간격이 한 주기입니다. 예를 들어 tan x의 점근선은 x=π/2, 3π/2처럼 π 간격으로 나타납니다. tan(bx)에서는 이 간격이 π/|b|로 바뀝니다. 다만 점근선 자체에서 함수값을 찍어 주기를 재는 것이 아니라, 한 점근선과 다음 점근선 사이에 들어 있는 동일한 가지의 폭을 보는 방식으로 이해해야 합니다. y=tan(bx)+k처럼 위아래로 이동해도 점근선 간격은 그대로이므로 주기도 달라지지 않습니다.

시험에서 바로 쓰는 주기 풀이 체크리스트

첫째, 함수 종류를 먼저 분류합니다. sin과 cos면 기본 분자는 2π, tan이면 기본 분자는 π입니다. 둘째, x 앞 계수를 찾아 괄호 안까지 정리합니다. 3x-1에서는 b=3이고, x/5+2에서는 b=1/5입니다. 셋째, 반드시 |b|를 분모에 넣습니다. 넷째, 함수 밖의 계수는 주기가 아니라 진폭에 영향을 준다는 점을 다시 확인합니다. 예를 들어 y=-5cos(3x+π/4)의 주기는 2π/3입니다. 앞의 -5는 그래프를 뒤집고 세로로 늘리지만 반복 폭은 바꾸지 않습니다. 다섯째, 구한 값이 그래프의 촘촘함과 맞는지 상식적으로 검산합니다. b=6인데 주기가 12π처럼 길게 나왔다면 계산 방향이 뒤집힌 것입니다.

마지막으로 주기와 위상 이동을 섞지 않는 것이 중요합니다. y=sin(2x-π)=sin{2(x-π/2)}에서 π/2는 오른쪽 이동량을 설명하지만 주기는 π입니다. 이동량은 그래프가 어디서 시작하는지를, 주기는 같은 모양이 얼마나 자주 반복되는지를 말합니다. 표로 외우면 sin(bx), cos(bx)는 2π/|b|, tan(bx)는 π/|b|입니다. 그래프를 보면 sin과 cos는 한 번의 완전한 물결 길이를, tan은 이웃한 점근선 사이의 길이를 재면 됩니다. 공식과 그림을 함께 연결해 두면 복잡한 평행이동이나 음수 계수 문제에서도 흔들리지 않고 답을 낼 수 있습니다.

마무리 전 30초 점검

공식을 적은 뒤에는 b의 절댓값, 함수 종류, 그래프의 반복 간격을 차례로 다시 확인하면 부호와 분수 때문에 생기는 실수를 줄일 수 있습니다.