삼각함수 특수각 표(사인·코사인·탄젠트) 한 번에 외우는 법

1. 먼저 보는 특수각 삼각함수 표

학교 시험과 기본 문제에서 가장 자주 쓰는 각은 0도, 30도, 45도, 60도, 90도입니다. 각도를 왼쪽에서 오른쪽으로 놓고 sin의 분자에 0, 1, 2, 3, 4를 차례로 넣어 제곱근을 씌운 뒤 2로 나누면 됩니다. 즉 sin 값은 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1입니다. cos 값은 이 순서를 거꾸로 읽으면 됩니다.

tan 90도는 값이 매우 큰 수라는 뜻이 아닙니다. tan은 sin÷cos인데 cos 90도가 0이므로 0으로 나누는 계산이 되어 정의할 수 없습니다. 답안에는 ‘정의되지 않는다’ 또는 교과서의 표기 방식을 따라 쓰는 편이 안전합니다.

2. sin, cos, tan은 무엇을 비교할까

직각삼각형에서 한 예각을 θ라고 하면 sin θ는 높이에 해당하는 변을 빗변으로 나눈 비, cos θ는 밑변에 해당하는 변을 빗변으로 나눈 비입니다. tan θ는 높이를 밑변으로 나눈 비이며 sin θ÷cos θ와 같습니다. 같은 각이라면 삼각형의 크기가 달라져도 이 비는 달라지지 않습니다. 그래서 길이가 아니라 각을 나타내는 값으로 쓸 수 있습니다.

그림을 볼 때 ‘어느 변이 높이인가’를 외우기보다 기준각 θ에 닿지 않는 변이 맞은편 변, 가장 긴 변이 빗변이라는 것부터 찾으세요. 기준각에 닿는 두 변 가운데 빗변이 아닌 것이 이웃변입니다. 맞은편·이웃·빗변을 먼저 표시한 뒤 비를 쓰면 사인과 코사인의 자리가 뒤바뀌는 실수를 줄일 수 있습니다.

0도에서 sin이 0인 까닭은 높이가 없기 때문이고, 90도에서 cos가 0인 까닭은 수평 방향의 길이가 없어지기 때문입니다. 이 변화 방향을 이해하면 표의 양 끝값을 따로 암기할 필요가 없습니다. sin은 각이 커질수록 커지고 cos는 작아진다는 감각이 중간값을 떠올리는 데도 도움을 줍니다.

3. 30도·60도와 45도는 두 삼각형에서 나온다

30도와 60도는 한 변이 2인 정삼각형을 반으로 잘라 만들 수 있습니다. 반으로 자른 직각삼각형의 빗변은 2, 짧은 변은 1, 나머지 변은 √3입니다. 따라서 30도에 대해 맞은편은 1이어서 sin 30도는 1/2이고, 이웃변은 √3이어서 cos 30도는 √3/2입니다. 60도에서는 맞은편과 이웃변의 역할만 바뀌므로 sin 60도와 cos 60도의 자리도 서로 바뀝니다.

45도는 두 직각변의 길이가 같은 이등변직각삼각형에서 나옵니다. 두 직각변을 1로 두면 피타고라스 정리에 따라 빗변은 √2입니다. 그래서 sin 45도와 cos 45도는 모두 1/√2이며, 보통 분모를 유리화한 √2/2로 씁니다. 두 값이 같은 이유도 두 직각변이 같은 길이이기 때문입니다.

이 두 비를 종이에 직접 두세 번 그려 보면 외운 표를 잊었을 때도 다시 만들 수 있습니다. 특히 30도와 60도의 √3 위치를 혼동할 때는 ‘30도 맞은편이 더 짧다’고 생각하세요. 짧은 변 1이 분자에 오므로 sin 30도는 1/2입니다.

4. 표를 10초 안에 복원하는 암기법

sin은 √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2의 순서입니다. √0은 0, √1은 1, √4는 2이므로 마지막 값은 2/2=1입니다. cos는 sin의 역순입니다. 이 방법은 다섯 칸 전체를 독립적으로 외우는 것보다 부담이 작고, 시험 중 한 칸이 생각나지 않아도 나머지 순서에서 되찾을 수 있습니다.

tan은 sin을 cos로 나누면 됩니다. tan 30도는 (1/2)÷(√3/2)=1/√3=√3/3, tan 45도는 1, tan 60도는 √3입니다. 30도에서 60도로 갈수록 1보다 작은 값, 1, 1보다 큰 값으로 커진다는 순서도 함께 확인하세요. 분모 유리화는 식을 보기 좋게 정리하는 과정일 뿐, 원래 비의 뜻은 바뀌지 않습니다.

암기 뒤에는 빈 표를 그려 채우는 연습이 좋습니다. 첫 줄에 각도 다섯 개를 쓰고, sin을 √0부터 √4까지로 채운 뒤 cos를 반대로 옮기고 tan을 나눗셈으로 완성합니다. 답을 보고 수정하는 방식으로 세 번만 반복해도 단순 암기보다 오래 남습니다.

5. 90도를 넘는 각은 단위원으로 판단한다

120도, 135도, 150도처럼 90도를 넘는 각도 기준각을 이용하면 특수각 표를 그대로 쓸 수 있습니다. 예를 들어 150도의 기준각은 30도입니다. 제2사분면에서는 y좌표에 해당하는 sin은 양수이고 x좌표에 해당하는 cos는 음수이므로 sin 150도는 1/2, cos 150도는 -√3/2, tan 150도는 -√3/3입니다.

제1사분면에서는 세 값이 모두 양수입니다. 제2사분면은 sin만 양수, 제3사분면은 tan만 양수, 제4사분면은 cos만 양수입니다. 무작정 부호를 외우기보다 단위원의 x축과 y축을 떠올리면 됩니다. tan은 y/x이므로 x와 y의 부호가 같으면 양수, 다르면 음수가 됩니다.

예를 들어 cos 135도는 기준각 45도의 크기 √2/2에 제2사분면의 음수 부호를 붙여 -√2/2입니다. sin 330도는 기준각 30도의 크기 1/2에 제4사분면의 음수 부호를 붙여 -1/2입니다. 값의 크기와 부호를 한 번에 처리하지 말고, 기준각으로 크기를 찾은 뒤 사분면으로 부호를 정하는 두 단계로 풀면 안정적입니다.

6. 특수각 문제 풀이에서 자주 틀리는 부분

첫째, 30도와 60도의 값을 서로 바꾸는 실수입니다. 30-60-90 삼각형의 변의 비 1:√3:2를 적고 기준각 맞은편이 어느 변인지 확인하세요. 둘째, √2/2와 1/√2를 다른 값처럼 보는 실수입니다. 두 식은 분모 유리화 전후의 같은 값입니다. 셋째, tan 90도를 0 또는 1로 쓰는 실수입니다. tan은 정의되지 않는다는 점을 별도로 기억해야 합니다.

넷째, 2사분면과 3사분면에서 부호를 놓치는 경우입니다. ‘기준각 30도이므로 1/2’까지만 쓰지 말고 원래 각이 어느 사분면인지 마지막에 다시 보세요. 다섯째, 도와 라디안을 혼동하는 경우입니다. 30도는 π/6, 45도는 π/4, 60도는 π/3입니다. 문제에 π/3이 보이면 60도를 떠올린 뒤 표를 적용하면 됩니다.

마지막 점검 순서는 간단합니다. 각이 0도부터 90도 사이인지, 기준각은 무엇인지, 필요한 함수가 sin·cos·tan 중 무엇인지, 사분면 부호가 필요한지 차례로 확인하세요. 답의 크기도 대략 점검할 수 있습니다. 예를 들어 예각 30도의 sin이 √3/2처럼 큰 값으로 나왔다면 60도 값과 바꾸지 않았는지 다시 보아야 합니다.

정리: 표보다 원리를 함께 기억하기

특수각 표는 삼각함수 문제의 출발점입니다. sin은 √0부터 √4까지의 순서, cos는 그 역순, tan은 sin÷cos라는 구조를 기억하면 표를 다시 만들 수 있습니다. 30도·60도는 1:√3:2, 45도는 1:1:√2의 변의 비에서 나오며, 90도를 넘는 각은 기준각과 사분면 부호를 함께 확인합니다. 이 원리로 접근하면 공식 암기에서 끝나지 않고 식의 값, 그래프, 벡터와 좌표 문제까지 자연스럽게 연결할 수 있습니다.