삼각함수 덧셈정리·배각공식·반각공식 유도: sin, cos, tan 공식 한 번에 정리
삼각함수 덧셈정리는 두 각을 더하거나 뺀 삼각함수 값을 sinα, cosα, sinβ, cosβ로 바꾸는 공식입니다. 배각공식은 β=α로 두면 나오고, 반각공식은 cos2θ 공식을 변형해 얻습니다.
삼각함수 덧셈정리·배각·반각 핵심 공식표
| 구분 | 공식 | 기억 포인트 |
|---|---|---|
| sin 덧셈 | sin(α±β)=sinαcosβ ± cosαsinβ | sin은 부호가 그대로 따라갑니다. |
| cos 덧셈 | cos(α±β)=cosαcosβ ∓ sinαsinβ | cos은 중간 부호가 반대로 바뀝니다. |
| tan 덧셈 | tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ) | 분모 부호는 분자와 반대입니다. |
| sin 배각 | sin2θ=2sinθcosθ | sin(θ+θ)에서 바로 나옵니다. |
| cos 배각 | cos2θ=cos²θ-sin²θ=2cos²θ-1=1-2sin²θ | 상황에 맞게 세 형태 중 골라 씁니다. |
| 반각 | sin²(θ/2)=(1-cosθ)/2, cos²(θ/2)=(1+cosθ)/2 | 제곱근을 취하면 각 범위로 ±를 정합니다. |
공식만 외우지 말고 유도 흐름까지 봐야 하는 이유
삼각함수 공식은 모양이 비슷해서 단순 암기만 하면 시험장에서 부호를 틀리기 쉽습니다. 특히 cos(α+β)의 마이너스, tan 공식의 분모 부호, 반각공식의 플러스·마이너스는 자주 헷갈립니다.
유도 흐름을 한 번 잡아두면 공식이 기억나지 않을 때 되살릴 수 있습니다. 단위원에서 두 각의 위치를 보고, x좌표는 cos, y좌표는 sin이라는 점을 연결하면 덧셈정리의 구조가 자연스럽게 보입니다.
또 미적분에서는 배각공식과 반각공식이 적분 변형에 자주 등장합니다. 예를 들어 sin²θ, cos²θ가 보이면 반각공식으로 차수를 낮춰 계산을 쉽게 만들 수 있습니다.
덧셈정리 유도 흐름: 단위원으로 보는 sin, cos
반지름이 1인 단위원에서 각 α 방향의 점과 α+β 방향의 점을 생각합니다. 어떤 점의 x좌표는 cos, y좌표는 sin이므로, α만큼 기울어진 기준선 위에서 β만큼 더 회전한 점의 가로·세로 성분을 다시 x축과 y축 성분으로 분해하면 됩니다.
sin(α+β)는 최종 점의 세로 길이입니다. β 방향의 성분을 α 기준으로 나누어 보면 세로로 올라가는 조각이 sinαcosβ와 cosαsinβ 두 부분으로 합쳐집니다. 그래서 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ가 됩니다.
cos(α+β)는 최종 점의 가로 길이입니다. α 방향으로 간 cosαcosβ에서, 위로 기울어진 조각이 x방향을 줄이는 만큼 sinαsinβ를 빼야 합니다. 그래서 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ가 됩니다.
뺄셈 공식은 β 대신 -β를 넣으면 된다
sin은 홀함수라 sin(-β)=-sinβ이고, cos은 짝함수라 cos(-β)=cosβ입니다. 덧셈 공식에 β 대신 -β를 넣으면 sin(α-β), cos(α-β) 공식이 바로 나옵니다.
따라서 sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ, cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ입니다. 여기서도 sin은 부호가 그대로, cos은 부호가 반대로 간다고 기억하면 빠릅니다.
배각공식 유도: 덧셈정리에 같은 각을 넣기
배각공식은 이름 그대로 2θ를 다루는 공식입니다. 새 공식을 따로 만든다기보다 덧셈정리에서 α=θ, β=θ로 두면 됩니다.
sin2θ=sin(θ+θ)=sinθcosθ+cosθsinθ=2sinθcosθ입니다. 이 공식은 곱 형태가 보일 때 자주 거꾸로 사용합니다.
cos2θ=cos(θ+θ)=cos²θ-sin²θ입니다. 여기에 sin²θ+cos²θ=1을 대입하면 cos2θ=2cos²θ-1 또는 cos2θ=1-2sin²θ도 됩니다.
tan2θ=(2tanθ)/(1-tan²θ)는 tan(θ+θ)에 같은 각을 넣으면 얻습니다. 단, 분모가 0이 되는 경우에는 탄젠트가 정의되지 않을 수 있으니 각의 범위를 함께 확인해야 합니다.
반각공식 유도: cos2θ를 변형해 제곱을 낮추기
반각공식은 cos 배각공식에서 출발합니다. cos2x=1-2sin²x를 정리하면 sin²x=(1-cos2x)/2가 됩니다. 여기서 x=θ/2로 바꾸면 sin²(θ/2)=(1-cosθ)/2입니다.
마찬가지로 cos2x=2cos²x-1을 정리하면 cos²x=(1+cos2x)/2가 됩니다. x=θ/2를 넣으면 cos²(θ/2)=(1+cosθ)/2가 됩니다.
탄젠트 반각공식은 sin과 cos 반각공식의 비율로도 볼 수 있고, 삼각함수 항등식을 변형해 tan(θ/2)=sinθ/(1+cosθ)=(1-cosθ)/sinθ처럼 씁니다. 단, 분모가 0이 되는 각은 따로 확인해야 합니다.
시험 전 실수 체크리스트
- sin(α±β)는 중간 부호가 문제의 ±와 같은지 확인합니다.
- cos(α±β)는 중간 부호가 반대로 바뀌는지 확인합니다.
- tan(α±β)는 분자 부호와 분모 부호가 반대인지 봅니다.
- cos2θ 세 가지 형태 중 문제에 있는 항을 지우기 좋은 형태를 고릅니다.
- 반각공식에서 제곱근을 취했다면 θ/2의 사분면으로 ±를 정합니다.
- tan 공식은 분모가 0인지, 원래 삼각함수가 정의되는 각인지 점검합니다.
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FAQ
삼각함수 덧셈정리는 꼭 외워야 하나요?
시험에서는 빠르게 써야 하므로 결과식은 외우는 편이 좋습니다. 다만 부호가 헷갈릴 때를 대비해 단위원 또는 코사인 공식에서 다시 확인하는 흐름도 함께 익혀두면 안전합니다.
배각공식은 덧셈정리에서 어떻게 나오나요?
덧셈정리에서 두 각을 모두 θ로 두면 됩니다. 예를 들어 sin(θ+θ)=sinθcosθ+cosθsinθ이므로 sin2θ=2sinθcosθ가 됩니다.
반각공식의 ± 부호는 어떻게 정하나요?
반각공식에서 제곱근을 취할 때 각의 범위에 따라 부호가 결정됩니다. 문제에서 θ/2가 어느 사분면에 있는지 먼저 확인해야 합니다.
탄젠트 덧셈정리 분모가 0이면 어떻게 하나요?
분모 1-tanαtanβ가 0이면 탄젠트 값이 정의되지 않는 각일 수 있습니다. 이때는 원래 각의 위치와 cos(α+β)가 0인지 확인해야 합니다.
공식 유도까지 공부해야 하나요?
공식만 암기해도 단순 계산은 가능하지만, 유도 흐름을 알면 변형 문제와 부호 확인에 강해집니다. 특히 미적분·적분 단원에서는 배각·반각 변형을 자주 씁니다.