미적분 공식 총정리: 미분·적분 개념과 자주 쓰는 공식
미적분을 공식 암기 전에 이해하는 법
미적분은 변화와 누적을 읽는 언어입니다. 미분은 어떤 순간에 값이 얼마나 빠르게 바뀌는지를, 적분은 작은 변화를 차곡차곡 더해 전체가 얼마나 되었는지를 다룹니다. 자동차의 순간 속도와 이동 거리, 물통에 들어오는 물의 양과 저장된 물의 양처럼 두 관점은 서로 연결됩니다. 공식을 외울 때에도 기호만 떼어 보지 말고 함수가 무엇을 나타내고, 입력값이 조금 바뀔 때 결과가 어떤 방향으로 달라지는지 먼저 말로 설명해 보세요.문제에서 가장 먼저 할 일은 변수와 단위를 확인하는 것입니다. x가 시간인지 길이인지, f(x)가 온도인지 비용인지에 따라 도함수의 뜻이 달라집니다. 예를 들어 비용 함수의 미분값은 물건을 한 단위 더 만들 때 비용이 얼마나 변하는지로 읽을 수 있습니다. 반대로 적분값은 일정 시간 동안 쌓인 양이나 넓이로 해석할 수 있습니다. 이 해석이 있으면 부호와 상수 C를 빼먹는 실수를 크게 줄일 수 있습니다.
함수·극한·연속의 출발점
함수는 입력 하나에 출력 하나를 대응시키는 약속입니다. 그래프는 그 약속을 좌표에 표시한 것이며, 미적분에서는 특정 점 근처에서 그래프가 어떻게 움직이는지가 중요합니다. 극한은 x가 어떤 값에 가까워질 때 함수값이 어디에 가까워지는지를 보는 개념입니다. 실제 그 점의 값과 근처에서 다가가는 값은 다를 수 있으므로, 대입만으로 끝내기보다 분모가 0이 되는지와 좌우에서 값이 같은지를 함께 살펴야 합니다.연속은 그래프를 그릴 때 펜을 떼지 않고 이어 갈 수 있는 상태라고 비유할 수 있습니다. 다만 연속이라고 모두 미분 가능한 것은 아닙니다. 뾰족한 꼭짓점이나 수직 접선처럼 기울기가 하나로 정해지지 않는 점에서는 미분이 어려울 수 있습니다. 시험 풀이에서는 정의역, 분모 조건, 루트 안 조건을 먼저 적고 극한과 연속을 판단하면 계산 과정이 훨씬 안정적입니다.
미분의 뜻: 평균변화율에서 순간변화율까지
두 점 사이의 평균변화율은 (f(b)-f(a))/(b-a)입니다. 그래프에서는 두 점을 잇는 할선의 기울기입니다. b를 a에 아주 가깝게 보내면 할선은 한 점에서 그래프를 스치는 접선에 가까워지고, 그때의 기울기가 미분계수입니다. f'(a)=lim[h→0]{f(a+h)-f(a)}/h라는 식은 이 과정을 기호로 쓴 것입니다. h를 무작정 0으로 대입하면 분모가 0이 되므로, ‘0에 가까워질 때’를 다룬다는 점을 기억해야 합니다.도함수 f'(x)는 각 x에서의 미분계수를 모은 새 함수입니다. f'(2)=3처럼 숫자가 나오면 x=2에서의 순간 변화율을 뜻하고, f'(x)=2x+1처럼 식이 나오면 모든 지점의 변화율 규칙을 뜻합니다. 속도·가속도 문제에서는 위치를 한 번 미분하면 속도, 두 번 미분하면 가속도가 됩니다. 어느 값이 원래 함수이고 어느 값이 변화율인지 이름을 붙여 두면 단위와 부호를 자연스럽게 검토할 수 있습니다.
기본 미분 공식과 적용 순서
상수 c의 미분은 0이고, x의 n제곱은 n×x의 n-1제곱으로 미분합니다. 따라서 (3x³-2x+7)'=9x²-2가 됩니다. 계수는 앞으로 내려오고 지수는 하나 줄어든다는 기억법은 다항식에 유용하지만, 합성함수나 곱에서는 그대로 쓰면 안 됩니다. 먼저 식의 가장 바깥 연산이 덧셈인지 곱셈인지, 괄호 안 함수가 있는지 표시한 뒤 적절한 규칙을 고르는 습관이 필요합니다.| 원함수 f(x) | 도함수 f'(x) | 확인 포인트 |
|---|---|---|
| c | 0 | 상수는 변하지 않음 |
| xⁿ | nxⁿ⁻¹ | n이 음수·분수여도 적용 |
| eˣ | eˣ | 변화율도 자기 자신 |
| ln x | 1/x | x>0의 정의역 확인 |
| sin x | cos x | 각도 단위는 라디안 |
| cos x | -sin x | 마이너스 부호 주의 |
계산 후에는 원식의 차수와 결과의 차수를 비교하세요. n차 다항식을 미분하면 보통 n-1차가 됩니다. 상수항이 남아 있거나 지수가 오히려 커졌다면 다시 확인할 신호입니다. 부분적분법 정리처럼 적분으로 넘어가기 전에 기본 미분을 정확히 하는 것이 가장 빠른 지름길입니다.
곱·몫·합성함수 미분법
두 함수의 곱 (uv)'는 u'v+uv'입니다. 양쪽을 각각 미분해 곱하는 식이 아니라, 한쪽만 미분한 항을 두 번 더한다는 점이 핵심입니다. 몫 u/v의 미분은 (u'v-uv')/v²이고 분모는 제곱됩니다. 부호와 순서를 헷갈리기 쉬우므로 분자에 ‘앞 미분×뒤 - 앞×뒤 미분’처럼 말로 적어 두면 도움이 됩니다. 특히 분모가 0이 되는 x값은 원래 함수의 정의역에서 제외해야 합니다.합성함수는 바깥 함수의 미분에 안쪽 함수의 미분을 곱하는 연쇄법칙을 씁니다. 예를 들어 (3x²+1)⁵는 바깥의 5( )⁴에 안쪽 6x를 곱해 30x(3x²+1)⁴가 됩니다. 괄호를 하나의 변수 u라고 치환해 보고 du/dx를 마지막에 곱하는 방식이 안전합니다. 로그·지수·삼각함수가 괄호 안에 섞이면 연쇄법칙 누락이 가장 흔한 실수이므로, ‘안쪽을 미분했는가’를 풀이 마지막 줄에서 체크하세요.
도함수로 증가·감소와 극값 찾기
도함수의 부호가 양수이면 원함수는 증가하고, 음수이면 감소합니다. 그래서 f'(x)=0이 되거나 정의되지 않는 지점을 먼저 찾아 구간을 나누고, 각 구간에서 부호를 검사합니다. 부호가 +에서 -로 바뀌면 그 지점은 극대 후보, -에서 +로 바뀌면 극소 후보입니다. 다만 후보를 찾았다는 것과 최댓값·최솟값을 확정한 것은 다릅니다. 닫힌 구간 문제에서는 양 끝점의 함수값도 반드시 비교해야 합니다.- 원함수의 정의역과 주어진 구간을 적습니다.
- 도함수를 구하고 f'(x)=0 또는 미분 불가 지점을 찾습니다.
- 후보점과 끝점으로 구간을 나눕니다.
- 각 구간의 도함수 부호를 표로 확인합니다.
- 필요하면 후보점·끝점의 원함수값을 대입해 결론을 씁니다.
그래프를 대략 스케치해 보면 계산 결과가 현실적인지 확인하기 쉽습니다. 변화율이 0이라고 항상 꼭대기나 바닥인 것은 아니며, x³의 x=0처럼 증가 방향이 바뀌지 않을 수도 있습니다. 이차함수 꼭짓점 읽기의 관점과 함께 보면 부호표를 해석하는 감각을 키울 수 있습니다.
이계도함수와 그래프의 오목·볼록
도함수를 한 번 더 미분한 이계도함수는 기울기가 어떻게 변하는지 알려 줍니다. 이계도함수가 양수인 구간에서는 기울기가 점점 커져 그래프가 아래로 볼록하고, 음수인 구간에서는 기울기가 점점 작아져 위로 볼록한 모양으로 설명합니다. 표현은 교재마다 다를 수 있으므로 말보다 부호와 기울기 변화에 집중하는 편이 안전합니다. 도함수가 0인 점에서 이계도함수가 양수면 극소, 음수면 극대라고 판정하는 방법도 자주 씁니다.| 관찰값 | 그래프 해석 | 주의할 점 |
|---|---|---|
| 도함수 양수 | 증가 | 기울기의 크기와는 별개 |
| 도함수 음수 | 감소 | 원함수값이 음수라는 뜻 아님 |
| 이계도함수 양수 | 기울기 증가 | 극소 판정은 도함수 0일 때 |
| 이계도함수 부호 변화 | 변곡점 후보 | 실제로 바뀌는지 확인 |
변곡점은 이계도함수가 0인 점만으로 결정하지 않고, 그 전후에서 오목·볼록이 실제로 바뀌는지 검사합니다. 계산기 그래프는 보조 도구로 좋지만 축의 범위에 따라 모양이 달라 보일 수 있으므로 부호표를 우선으로 판단하세요.
부정적분과 정적분의 차이
미분의 역과정을 적분이라고 생각하면 부정적분을 이해하기 쉽습니다. F'(x)=f(x)일 때 ∫f(x)dx=F(x)+C입니다. 여기서 C는 미분하면 사라지는 상수이므로 반드시 붙여야 합니다. 예를 들어 ∫2x dx=x²+C입니다. 부정적분은 함수의 가족을 구하는 문제라서 답이 하나의 그래프가 아니라 위아래로 평행 이동한 여러 그래프를 포함합니다.정적분 ∫ₐᵇf(x)dx는 a부터 b까지의 누적 변화를 숫자로 나타냅니다. 넓이와 관련되어 자주 나오지만, x축 아래쪽은 음수로 더해지는 ‘부호 있는 넓이’라는 점을 구분해야 합니다. 실제 도형 넓이를 구하라는 문제라면 그래프가 x축을 지나는 곳에서 구간을 나누어 절댓값을 고려해야 합니다. 정적분 계산에는 원시함수 F를 찾아 F(b)-F(a)를 쓰는 미적분의 기본정리가 핵심입니다.
기본 적분 공식과 상수 C
거듭제곱의 적분은 xⁿ을 xⁿ⁺¹/(n+1)로 바꾸는 방식이 기본이며, 단 n=-1일 때는 적용할 수 없습니다. 이 예외는 ∫1/x dx=ln|x|+C로 따로 기억해야 합니다. 미분 공식과 짝을 지어 확인하면 암기가 단단해집니다. 예를 들어 x⁴/4를 미분하면 x³이므로 ∫x³dx=x⁴/4+C가 맞습니다. 적분 뒤에 한 번 미분해 원래 식으로 돌아오는지 검산하는 습관이 가장 확실합니다.삼각함수와 지수함수도 미분 표와 연결합니다. ∫cos x dx=sin x+C, ∫sin x dx=-cos x+C, ∫eˣ dx=eˣ+C입니다. ln|x|에서 절댓값을 생략하면 음수 구간의 정의역을 놓칠 수 있습니다. 로그의 성질과 자연로그를 먼저 정리해 두면 1/x 적분과 치환적분에서 덜 흔들립니다.
치환적분과 부분적분을 고르는 기준
치환적분은 합성함수의 적분에서 안쪽 미분이 함께 보일 때 유리합니다. ∫2x(x²+1)⁵dx에서 u=x²+1로 두면 du=2x dx가 되어 ∫u⁵du로 단순해집니다. 괄호 안을 u로 정한 뒤 dx와 계수를 빠짐없이 바꾸고, 마지막에 x로 되돌리는 순서를 지키세요. 억지로 치환하면 식이 더 복잡해질 수 있으니 안쪽 함수와 그 미분이 비슷한 비율로 있는지 먼저 확인합니다.부분적분은 ∫u dv=uv-∫v du 공식을 쓰며, 다항식과 지수함수·로그함수·삼각함수의 곱에서 자주 등장합니다. 미분하면 단순해지는 항을 u로 고르는 것이 보통 유리합니다. 다만 같은 형태의 적분이 다시 나타나는 경우에는 양변을 정리해야 하므로 중간에 멈추지 말아야 합니다. 풀이를 시작하기 전 ‘치환으로 한 덩어리가 줄어드는가, 곱 중 하나를 미분하면 쉬워지는가’를 비교하면 도구 선택 시간이 줄어듭니다.
실전 시간 관리와 검산법
공식이 많은 단원일수록 풀이 순서를 고정하는 편이 좋습니다. 먼저 문제의 요구가 미분값인지 증가·감소인지 넓이인지 표시하고, 정의역과 주어진 구간을 적은 다음, 필요한 공식만 꺼냅니다. 모든 공식을 한꺼번에 떠올리려 하면 오히려 부호 실수가 늘어납니다. 계산이 길어질 때는 괄호와 분수를 한 줄씩 정리하고, 약분은 인수분해가 끝난 뒤에 하는 편이 안전합니다.미분 문제는 결과를 다시 미분하거나 간단한 x값을 대입해 규모를 점검할 수 있습니다. 적분 문제는 답을 미분해 원함수가 되는지 확인하고, 정적분은 상한·하한을 넣는 순서를 F(b)-F(a)로 소리 내어 확인하세요. 그래프 문제에서는 표본점 두세 개를 찍어 부호표와 맞는지 봅니다. 시험 직전에는 새로운 고난도 문제를 많이 풀기보다, 자주 틀리는 공식·예외·부호를 한 장의 오답 노트로 재확인하는 편이 효율적입니다.
자주 묻는 질문
- Q. 미분계수와 도함수는 같은 말인가요?
- A. 미분계수는 특정 점에서의 변화율이고, 도함수는 각 점의 미분계수를 x에 대한 함수로 모은 것입니다.
- Q. 적분할 때 +C는 언제 붙이나요?
- A. 부정적분에는 붙이고, 위아래 한계가 있는 정적분 계산 결과에는 보통 붙이지 않습니다.
- Q. 도함수가 0이면 항상 극값인가요?
- A. 아닙니다. 전후 부호가 바뀌는지 또는 다른 판정 조건을 확인해야 합니다.
- Q. 정적분은 언제 넓이와 달라지나요?
- A. 그래프가 x축 아래에 있으면 그 부분은 음수로 누적됩니다. 도형 넓이는 절댓값을 고려합니다.
- Q. 삼각함수 미적분에서 각도 단위는 무엇인가요?
- A. 표준 미분·적분 공식은 라디안을 기준으로 합니다. 계산기 모드도 확인하세요.
- Q. 공식을 모두 외워야 하나요?
- A. 기본 공식과 규칙을 먼저 익히고, 미분과 적분이 서로 역관계임을 이용해 검산하는 것이 효과적입니다.
미적분은 한 번에 많은 공식을 외우는 과목처럼 보이지만, 변화율과 누적이라는 두 질문으로 돌아오면 정리가 쉬워집니다. 작은 문제라도 정의역·부호·상수 C를 직접 점검하는 연습을 반복해 보세요.