부분적분법 완전 정리: 공식 선택부터 계산 실수까지

부분적분법은 언제 쓰는가

부분적분법은 두 함수가 곱해진 적분에서 한쪽을 미분하면 단순해지고 다른 쪽은 적분할 수 있을 때 쓰는 계산법입니다. 예를 들어 x와 e의 x제곱, x와 사인 함수, 로그 함수와 다항식처럼 곱의 모양이 보이면 후보가 됩니다. 반대로 함수 하나의 안쪽 미분이 거의 보이는 합성함수라면 치환적분이 먼저일 수 있습니다. 계산을 시작하기 전 ‘미분하면 무엇이 쉬워지는가’와 ‘적분할 수 있는가’를 따로 묻는 습관이 중요합니다. 공식만 외워 바로 대입하면 선택이 꼬여 길고 불안정한 식이 되기 쉽습니다.

공식의 뜻과 유도

기본 공식은 ∫u dv = uv − ∫v du 입니다. 이는 곱의 미분법 d(uv)=u dv+v du를 정리해 얻습니다. 왼쪽의 원래 적분을 u와 dv로 나누고, dv를 적분해 v를 만든 뒤, u는 미분해 du로 바꾸는 것이 핵심입니다. 부호가 마이너스로 바뀐다는 점을 한 줄로 표시해 두세요. 공식의 목적은 적분을 없애는 것이 아니라, 원래보다 간단한 새 적분으로 옮기는 것입니다. 새 적분이 더 어려워졌다면 u와 dv의 선택을 다시 해야 합니다.

u와 dv를 고르는 기준

u에는 미분할수록 단순해지는 함수를 두는 편이 유리합니다. 다항식은 차수가 낮아지고, 로그는 1/x가 되며, 역삼각함수도 비교적 단순한 도함수를 갖습니다. dv에는 적분 결과를 즉시 쓸 수 있는 함수가 좋습니다. 지수함수와 사인·코사인은 대표적인 선택입니다. 흔히 로그·역삼각·다항·삼각·지수 순서의 기억법을 쓰지만, 이것은 정답표가 아니라 출발점입니다. 실제로는 미분과 적분을 한 번 적어 보고 새 적분의 모양이 단순해지는지 비교해야 합니다.

계산을 시작하는 절차

먼저 적분 기호 옆에 원래 식을 또렷이 씁니다. 다음 줄에서 u와 dv를 선언하고, 오른쪽에 du와 v를 각각 계산합니다. 그 뒤 uv를 먼저 쓰고 마이너스 기호를 적은 다음 ∫v du를 괄호 안에 넣으면 부호 누락을 줄일 수 있습니다. 상수는 마지막까지 추적하되, 계산을 보기 좋게 하려고 앞에 묶어 둘 수 있습니다. 답을 구한 뒤에는 한 번 미분해 원래 곱이 나오는지 확인하세요. 이 검산은 복잡한 삼각함수나 음수 계수가 섞였을 때 가장 빠른 안전장치입니다.

다항식과 지수함수 예제

예를 들어 ∫x e^x dx에서는 u=x, dv=e^x dx로 둡니다. 그러면 du=dx, v=e^x이므로 결과는 x e^x−∫e^x dx, 즉 e^x(x−1)+C가 됩니다. 여기서 u와 dv를 반대로 잡으면 x의 적분은 가능하지만 e^x의 미분은 그대로여서 더 나은 구조가 되지 않습니다. 다항식의 차수가 두 번 이상이면 표를 이용해 미분을 반복하고 지수함수는 적분을 반복하는 방식도 편리합니다. 단, 표 방식도 각 대각선 항의 부호가 번갈아 바뀐다는 원리를 이해한 뒤 사용해야 합니다.

삼각함수와 부호 관리

∫x cos x dx에서는 u=x, dv=cos x dx로 두면 v=sin x입니다. 따라서 x sin x−∫sin x dx가 되고, 적분 안의 마이너스까지 처리하면 x sin x+cos x+C가 됩니다. 많은 실수는 공식의 첫 마이너스와 sin의 적분에서 나오는 마이너스를 한 번만 적는 데서 시작합니다. 각 줄마다 ‘공식의 마이너스’와 ‘함수 적분의 부호’를 분리해 표시하세요. 사인과 코사인이 반복될 때는 마지막 결과를 미분하여 x cos x가 나오는지 확인하면 즉시 잡아낼 수 있습니다.

로그함수와 역삼각함수

∫ln x dx는 겉보기에는 곱이 없지만 ln x에 1을 곱한 것으로 볼 수 있습니다. u=ln x, dv=dx이면 v=x이고, x ln x−∫1 dx=x ln x−x+C가 됩니다. 정의역 때문에 x는 양수인 구간에서 다루는지 함께 확인해야 합니다. arctan x 같은 역삼각함수도 보통 u로 선택하고 dv=dx로 두는 출발이 자연스럽습니다. 이후에 1/(1+x²)처럼 유리함수가 나오면 치환, 부분분수, 삼각치환 중 무엇이 맞는지 다음 단계를 따로 판단합니다.

정적분에서 경계를 다루는 법

정적분에서는 부정적분처럼 마지막에 C를 붙이지 않습니다. ∫a에서 b까지 u dv는 [uv]a에서 b까지 −∫a에서 b까지 v du로 계산합니다. 경계값은 uv 전체에 먼저 적용하고 새 적분에도 같은 경계가 남는다는 점을 놓치지 마세요. 무한구간이나 끝점에서 함수가 발산할 가능성이 있다면 단순히 값을 대입하지 말고 극한으로 정의해야 합니다. 특히 로그, 분모, 지수항이 섞인 문제는 경계에서 식이 정의되는지와 수렴하는지를 계산 전에 확인하는 편이 안전합니다.

두 번 적용하거나 원래 적분이 돌아올 때

e^x sin x, e^x cos x처럼 지수와 삼각함수가 곱해진 적분은 부분적분을 두 번 하면 원래 적분이 다시 나타납니다. 이때 당황하지 말고 원래 적분을 I라고 놓고 양변에 남은 I 항을 한쪽으로 모으면 됩니다. 중요한 것은 두 번 적용한 뒤 원래 적분과 계수가 같은지 확인하는 일입니다. 계산 도중 I를 다시 쓰지 않으면 같은 식을 반복하는 이유가 보이지 않습니다. 한 번에 완성하려 하기보다 첫 적용, 두 번째 적용, 이항의 세 줄로 나누면 실수가 줄어듭니다.

치환적분과 비교하는 표

부분적분과 치환적분은 경쟁 관계가 아니라 식의 구조를 읽는 두 도구입니다. 안쪽 함수와 그 미분이 보이면 치환을 먼저 시험하고, 서로 다른 성격의 함수가 곱으로 만나며 한쪽 미분이 단순해지면 부분적분을 검토하세요.

시간을 줄이는 체크리스트

시험이나 과제에서는 공식을 기억하는 것보다 선택과 검산에 시간을 배분하는 편이 좋습니다. 아래 순서를 습관으로 만들면 긴 풀이에서도 같은 실수를 반복하지 않습니다.

1. 원래 식이 곱인지, 합성인지 먼저 표시합니다.
2. u를 미분하고 dv를 적분한 결과를 옆에 씁니다.
3. uv−∫v du의 마이너스를 먼저 적습니다.
4. 정적분이면 uv와 새 적분 모두에 경계를 적용합니다.
5. 마지막 답을 미분하거나 수치로 검산합니다.

자주 하는 실수와 예방

첫째, dv만 쓰고 dx를 빼먹으면 v를 잘못 구하기 쉽습니다. 둘째, ∫v du에서 du에 포함된 계수를 빠뜨리면 답 전체가 달라집니다. 셋째, uv를 경계에 적용할 때 괄호를 생략하면 정적분 부호가 섞입니다. 넷째, 새 적분이 원래보다 어려운데도 계속 밀어붙이면 계산량만 커집니다. 다섯째, 상수 C를 중간 줄마다 붙여 정리하지 못하는 경우가 있습니다. 부정적분의 C는 최종 답에 한 번만 쓰고, 정적분에는 쓰지 않는다는 원칙을 지키세요.

실전 연습 루틴

처음에는 다항식×지수, 다항식×삼각, 로그×1의 세 유형을 각각 두 문제씩 풀어 보세요. 풀이 옆에 u와 dv를 선택한 이유를 짧게 적으면 공식 암기와 구조 판단이 연결됩니다. 다음에는 정적분 한 문제와 두 번 적용해 원래 적분이 돌아오는 문제를 넣습니다. 틀린 문제는 답만 고치지 말고 부호, v 계산, 경계, 선택 중 어느 단계에서 틀렸는지 표시하세요. 이런 기록은 다음 문제에서 같은 유형의 실수를 막는 가장 짧은 복습 노트가 됩니다.

자주 묻는 질문

부분적분법 공식은 왜 마이너스인가요?

곱의 미분법에서 v du 항을 반대편으로 옮겨 정리하기 때문에 마이너스가 생깁니다. 유도를 한 번 써 보면 외우기 쉽습니다.

u와 dv를 꼭 기억법 순서대로 골라야 하나요?

아닙니다. 기억법은 후보를 빠르게 고르는 보조 기준입니다. 새 적분이 단순해지는지 실제로 비교하세요.

정적분에도 C를 써야 하나요?

쓰지 않습니다. 경계값의 차로 상수가 사라지므로 [uv]와 남은 정적분을 같은 구간에서 계산합니다.

부분적분을 했는데 원래 적분이 다시 나옵니다.

원래 적분을 I로 두고 양변에 있는 I 항을 모아 방정식처럼 풀면 됩니다. 두 번 적용되는 지수·삼각 곱에서 자주 나옵니다.

검산은 어떻게 하나요?

부정적분 결과를 미분해 원래 함수가 나오는지 확인합니다. 정적분은 경계 대입과 대략적인 부호·크기도 함께 점검하세요.

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계산이 막힐 때 문제를 다시 읽는 방법

부분적분법의 답이 지나치게 길어졌다면 계산 능력보다 출발 판단을 먼저 점검하세요. 원래 식에 괄호가 생략되어 있지 않은지, 상수는 밖으로 뺄 수 없는지, 삼각함수의 항등식으로 먼저 단순화할 수 없는지를 확인합니다. 예를 들어 x²e^x처럼 다항식 차수가 높으면 부분적분을 반복하는 것이 자연스럽지만, x/(1+x²)처럼 분자에 분모의 미분이 보이는 식은 치환적분이 훨씬 짧습니다. 식을 보고 바로 공식을 적용하는 대신, 미분 후보와 적분 후보를 작은 화살표로 적어 두면 선택이 눈에 보입니다. 연습 단계에서는 두 선택을 모두 한 줄씩 시험해 새 적분의 길이를 비교해도 좋습니다. 이 과정이 익숙해지면 시험에서는 한 번의 판단으로도 안정적인 경로를 고를 수 있습니다.

계산 중간의 항을 정리할 때는 같은 종류끼리만 묶어야 합니다. e의 x제곱 항과 x e의 x제곱 항은 공통인 e의 x제곱을 묶을 수 있지만, 상수항과 경계값을 섞어 버리면 검산이 어려워집니다. 분수 계수, 음수, 원주율 같은 상수는 처음부터 따로 표시하고, v를 구할 때 생긴 상수를 잊지 마세요. 정적분은 수치 대입을 맨 마지막에 하는 편이 좋습니다. 먼저 일반적인 uv와 새 적분을 만든 뒤 각 경계에서 값을 쓰면 위끝과 아래끝의 빼기 관계가 명확합니다. 답의 부호가 직관과 크게 다르면 구간에서 원래 함수의 부호를 간단히 스케치해 보는 것도 유용합니다.

시간을 줄이는 학습 전략

부분적분법은 계산기를 많이 쓰는 기술이 아니라 종이 위의 구조를 빠르게 결정하는 기술입니다. 따라서 긴 문제를 무작정 여러 번 푸는 것보다, 한 문제를 풀고 나서 u와 dv 선택, v 계산, 부호, 검산에 걸린 시간을 표시하는 편이 효율적입니다. 하루에 20분씩이라도 세 유형을 번갈아 풀면 특정 유형만 익숙해지는 현상을 막을 수 있습니다. 무료 강의나 문제집을 사용할 때도 해설을 보기 전에 최소 두 줄은 스스로 써 보세요. 막힌 지점을 정확히 알면 해설을 읽는 시간이 줄고, 다음 문제에서 같은 절차를 재사용할 수 있습니다.

시험 직전에는 새로운 고난도 문제보다 대표 예제를 정리한 한 장의 노트가 도움이 됩니다. 다항식과 지수, 다항식과 삼각, 로그와 1, 정적분, 원래 적분 회귀의 다섯 칸을 만들고 각 칸에 u와 dv 선택만 적습니다. 결과를 전부 외우기보다 어떤 함수가 미분에서 단순해지는지 떠올리는 것이 목적입니다. 풀이 시간을 줄이려고 암산만 고집하면 부호와 계수를 놓치기 쉽습니다. 특히 계산 과정이 채점 대상인 시험에서는 선언식과 중간 적분을 남기는 것이 오히려 부분 점수와 검산 시간을 확보하는 방법입니다.

답을 제출하기 전의 마지막 검산

부분적분법의 검산은 복잡한 풀이를 처음부터 다시 하는 일이 아닙니다. 최종 답을 미분해 원래의 적분 함수가 되는지 보는 것이 가장 확실합니다. 곱 형태의 답은 곱의 미분법을 다시 적용하므로, 이 과정 자체가 부분적분의 원리를 복습하게 합니다. 미분 결과에서 원래 항은 맞지만 상수 계수만 다르면 du의 계수나 v의 적분 상수를 먼저 확인하세요. 항의 부호가 반대라면 공식 앞의 마이너스와 삼각함수 적분의 부호를 따로 확인합니다. 정적분은 부정적분을 만든 뒤 양 끝값을 대입하는 방식으로도 확인할 수 있지만, 구간 안에서 함수가 양수인지 음수인지 대략 판단하면 터무니없는 결과를 더 빨리 발견할 수 있습니다.

검산을 할 때 계산기 결과만 정답처럼 믿지 않는 것도 중요합니다. 계산기는 수치 확인에 도움이 되지만, 정의역 밖의 값이나 입력 괄호 오류까지 알려 주지는 않습니다. 로그가 들어간 식이라면 구간이 양수인지, 분모가 0이 되는 지점이 없는지 먼저 봅니다. 무한 구간 정적분이라면 각 끝을 극한으로 다뤘는지 확인합니다. 문제에서 상수나 조건이 주어졌다면 부정적분의 C를 결정하는 마지막 단계도 따로 적어야 합니다. 짧은 검산 메모는 제출 직전의 불안을 줄이고, 나중에 오답을 복기할 때도 어느 단계가 약했는지 알려 줍니다.

공식을 내 것으로 만드는 정리법

부분적분법을 오래 기억하려면 공식 한 줄과 함께 질문 두 개를 적어 두세요. ‘무엇을 미분하면 쉬워지는가’, ‘무엇을 적분할 수 있는가’입니다. 이 두 질문에 답한 뒤 u와 dv를 고르면 공식은 기계적인 대입이 아니라 선택을 기록하는 표기가 됩니다. 노트 한쪽에는 잘 되는 선택과 잘 안 되는 선택을 나란히 적어 보세요. 예컨대 x 곱하기 e의 x제곱에서는 x를 u로 둘 때 차수가 사라져 새 적분이 짧아집니다. 반대로 e의 x제곱을 u로 두면 원래 구조가 충분히 단순해지지 않는다는 점을 직접 비교할 수 있습니다.

마지막으로 한 문제를 풀 때 정답만 남기지 말고 선택 이유를 한 문장으로 남기세요. ‘다항식은 미분하면 단순해지고 지수함수는 적분이 그대로이므로 이렇게 뒀다’처럼 짧으면 충분합니다. 다음에 비슷한 곱을 만났을 때 이 문장이 풀이의 첫 줄을 열어 줍니다. 부분적분법은 손에 익을수록 계산 속도보다 실수 방지 효과가 크게 나타납니다. 올바른 u와 dv, 분명한 마이너스, 경계의 괄호, 마지막 미분 검산이라는 네 가지 기준을 유지하면 낯선 문제도 차분히 구조부터 풀어낼 수 있습니다.

마무리

공식의 형태와 선택 기준을 함께 익히고, 매번 미분 검산을 하면 부분적분법은 안정적인 풀이 도구가 됩니다. 어려운 문제일수록 식의 구조를 먼저 읽고 차례대로 정리하세요.